Методы решения алгебраических уравнений (стр. 3 из 3)

3.2 Метод ложного положения (метод хорд).

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции, имеющим противоположные знаки. Этот метод зачастую даёт более быструю сходимость, чем метод деления отрезка пополам.

Для иллюстрации алгоритма метода ложного положения (метода хорд), рассмотрим рис.5.

рис.5.

Сначала находим отрезок

где

yзаведомо известно, что существует

корень

, т.е. , для этого по теореме Вейерштрасса должно быть .

В качестве первого приближения к корню берём

, второе приближение . Для нахождения следующего приближения соединяем эти две точки отрезком прямой. Точку пересечения этого отрезка берём в качестве третьего приближения , далее значение функции сравнивается с и , где будут разные знаки, в дальнейшем используется именно тот отрезок вместо , и т.д. Соответствующая итерационная формула имеет вид:

(40)

где

и .

Ясно, что эта итерационная формула требует, чтобы

, а также и .

Точность вычисления корня методом хорд оценивается неравенством

(41)

предельная относительная погрешность:

(42)

где

.

3.3 Метод Ньютона (метод касательных)

Хотя метод ложного положения даёт более быструю сходимость, чем метод деления отрезка пополам, проверка условий применимости метода хорд достаточно громоздка, поэтому рассмотрим метод Ньютона, который иногда называют методом касательных.

В отличие от предыдущих методов здесь не требуется предварительно искать отрезок

, где . Для решения уравнения

(43)

в методе Ньютона задаёмся требуемой точностью

(абсолютная погрешность). Далее произвольно выбираем начальное приближение . Считаем, что

(44)

для нахождения следующего приближения

, где

(45)

воспользуемся формулой Тейлора для

:

(46)

Отбрасывая члены разложения, содержащие производные выше первого порядка, получаем уравнение для определения приближённого значения корня

:

(47)

т.е.

(48)

Зная

, новое, улучшенное значение находим аналогично

(49)

и вообще

(50)

Вычисления надо продолжать до тех пор, пока не достигнем требуемой абсолютной погрешности

:

(51)

Предельная относительная погрешность равна:

(52)

Скорость сходимости итерационной формулы Ньютона (50) оценивается неравенством:

(53)

Ясно, что скорость сходимости выше, чем в методе хорд. Однако, здесь так же нужно иметь в виду, что

, а также и , а эти условия трудно проверить, что и является отталкивающим фактором для исследователей. Кроме того, для применения метода Ньютона, нужно достаточно точное знание начального приближения .

Здесь, так же как и в методе хорд, легко представить этот процесс геометрически. Взяв начальное приближение

, в этой точке проводится касательная к графику функции . Пересечение касательной с осью абсцисс принимается за первое приближение. Далее касательная проводится в точке , пересечение касательной с осью берётся в качестве второго приближения и т.д.

Литература

1. Высшая математика - Сапунов И.С. - М. 2000 г.