Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 6 из 9)

Здесь Y

(x)=|| Y

(x), Y

(x) || это матрица размерности 8х4, а c это соответствующий вектор размерности 4х1из искомых констант c

Но вообще то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов Y

(x), а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:

Y(x)=Y

(x)c

+Y*(x),

И как раз трудность и проблема метода прогонки С.К.Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

То есть в методе прогонки С.К.Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений Y

(0), Y

(0), Y*(0) векторов Y

(x), Y

(x), Y*(x), чтобы можно было начать прогонку с левого края x=0, то есть чтобы удовлетворялись условия U∙Y(0) = u на левом крае при любых значениях констант c

Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения Y

(0), Y

(0), Y*(0) можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.

Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

U∙Y(0) = u,

где матрица U прямоугольная и горизонтальная размерности 4х8.

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей U

размерности 4х8, у которой будут 4 ортонормированные строки:

∙Y(0) = u

где в результате ортонормирования вектор u преобразован в вектор u

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу U

до квадратной невырожденной матрицы W:

W =

где матрица М размерности 4х8 должна достраивать матрицу U

до невырожденной квадратной матрицы W размерности 8х8.

В качестве строк матрицы М можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

Завершим ортонормирование построенной матрицы W, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу W

размерности 8х8 с ортонормированными строками:

Можем записать, что

(0) = (М

)транспонированная = М

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С.К.Годунова, получим:

Y(0) = Y

(0) ∙с + Y*(0)

или

Y(0) = М

∙с + Y*(0).

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия U

∙Y(0) = u

и получим:

∙ [ М

∙с + Y*(0) ]= u

Отсюда получаем, что на левом крае константы c уже не на что не влияют, так как

∙ М

= 0 и остается только найти Y*(0) из выражения:

∙ Y*(0) = u

Но матрица U

имеет размерность 4х8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор Y*(0) из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

∙ Y*(0) =

где 0 – любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

Y*(0) =

∙

Тогда итоговая формула для начала вычислений методом прогонки С.К.Годунова имеет вид:

Y(0) = М

∙с +

∙