Методы решения краевых задач, в том числе "жестких" краевых задач (стр. 1 из 9)

Методы решения краевых задач, в том числе «жестких» краевых задач

Методы Алексея Юрьевича Виноградова

1 Введение

На примере системы дифференциальных уравнений цилиндрической оболочки ракеты – системы обыкновенных дифференциальных уравнений 8-го порядка (после разделения частных производных).

Система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений имеет вид:

Y

(x) = A(x) ∙ Y(x) + F(x),

где Y(x) – искомая вектор-функция задачи размерности 8х1, Y

(x) – производная искомой вектор-функции размерности 8х1, A(x) – квадратная матрица коэффициентов дифференциального уравнения размерности 8х8, F(x) – вектор-функция внешнего воздействия на систему размерности 8х1.

Здесь и далее вектора обозначаем жирным шрифтом вместо черточек над буквами

Краевые условия имеют вид:

U∙Y(0) = u,

V∙Y(1) = v,

где

Y(0) – значение искомой вектор-функции на левом крае х=0 размерности 8х1, U – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края размерности 4х8, u – вектор внешних воздействий на левый край размерности 4х1,

Y(1) – значение искомой вектор-функции на правом крае х=1 размерности 8х1, V – прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края размерности 4х8, v – вектор внешних воздействий на правый край размерности 4х1.

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с постоянными коэффициентами A=const, решение задачи Коши имеет вид [Гантмахер]:

Y(x) = e

∙ Y(x ) + e ∙ e ∙ F(t) dt,

где

e

= E + A(x-x ) + A (x-x ) /2! + A (x-x ) /3! + …,

где E это единичная матрица.

Матричная экспонента ещё может называться матрицей Коши или матрициантом и может обозначаться в виде:

K(x←x

) = K(x - x ) = e .

Тогда решение задачи Коши может быть записано в виде:

Y(x) = K(x←x

) ∙ Y(x ) + Y*(x←x ) ,

где Y*(x←x

) = e ∙ e ∙ F(t) dt это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

2 Случай переменных коэффициентов

Этот вариант рассмотрения переменных коэффициентов проверялся в кандидатской диссертации.

Из теории матриц [Гантмахер] известно свойство перемножаемости матричных экспонент (матриц Коши):

e

= e ∙ e ∙ … ∙ e ∙ e ,

K(x

←x ) = K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ).

В случае, когда система дифференциальных уравнений имеет матрицу с переменными коэффициентами A=A(x), решение задачи Коши предлагается искать при помощи свойства перемножаемости матриц Коши. То есть интервал интегрирования разбивается на малые участки и на малых участках матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. А затем матрицы Коши, вычисленные на малых участках, перемножаются:

K(x

←x ) = K(x ←x ) ∙ K(x ←x ) ∙ … ∙ K(x ←x ) ∙ K(x ←x ),

где матрицы Коши приближенно вычисляются по формуле:

K(x

←x ) = e , где ∆x = x - x .

3 Формула для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений

Эта очень простая формула еще не обсчитана на компьютерах. Вместо неё обсчитывалась значительно ранее выведенная и гораздо более сложная формула, приведенная в:

Численный метод переноса краевых условий для жестких дифференциальных уравнений строительной механики Журнал "ММ", Том: 14 (2002), Номер: 9, 3 стр. 1409-003r.pdf

Вместо формулы для вычисления вектора частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений в виде [Гантмахер]:

Y*(x←x

) = e ∙ e ∙ F(t) dt

предлагается использовать следующую формулу для каждого отдельного участка интервала интегрирования и тогда вектор частного решения на всем интервале будет складываться из векторов, вычисленных по формуле:

Y*(x

←x ) = Y*(x - x ) = K(x - x ) ∙ K(x - t) ∙ F(t) dt .

Правильность приведенной формулы подтверждается следующим:

Y*(x

- x ) = e ∙ e ∙ F(t) dt ,

Y*(x

- x ) = e ∙e ∙ F(t) dt ,