Перетворення Фур’є. Спектри неперіодичних функцій (стр. 4 из 4)

Згідно (4.1), підставляючи (4.3), отримуємо інтеграл Фур’є в комплексній формі:

(4.4)

З формули (4.4) після відділення дійсної й мнимої частини можна перейти до інтеграла Фур'є в дійсній формі. З обліком парних і непарних функцій одержимо

, тобто

(4.5)

б) Минаючи стандартну процедуру, визначимо модуль і аргумент величини

привівши її до показової форми запису

(4.6)

Поки співмножник експоненти (разом із синусом) міняє знак, він не може відігравати роль модуля

. Неважко перевірити, що в проміжках

при

.

Тому для

, значить ;

звідки

. (4.7)

В виразі (4.7) ціле число

довільне, його варто вибрати так, щоб виділялося головне значення. Оскільки в означених вище інтервалах зміни w справедливо , то досить взяти .

Маємо:

1. амплітудний спектр у вигляді функції

,

Побудуємо таблицю амплітудного спектра

k	-4	-2	0	2	4
			0
	0	0		0	0

Графік амплітудного спектра наведений на рис.4.2

Рис.4.2 Графік амплітудного спектру досліджуємої неперіодичної функції

2. фазовий спектр у вигляді функції

, . Діаграми для

побудовані з урахуванням парності й непарності .

Побудуємо таблицю для фазового спектра

k	-2	-1	0	1	2
			0
			0

Графік фазового спектра наведений на рис.4.3

Рис.4.3 Графік фазового спектру досліджуємої неперіодичної функції

Розглянуту функцію

в радіотехніці застосовують для опису прямокутного імпульсу тривалості . Прилад, що реєструє цей сигнал, сприймає тільки кінцевий інтервал частот. Важливо, щоб в останній попадала основна частина спектра, який відповідає найбільшим значенням амплітуд . Довжину такого інтервалу характеризують за допомогою поняття ширини спектра. У даному прикладі шириною спектра називають величину . Тривалість імпульсу й ширина його спектра обернено залежні. Ця властивість - загальна для імпульсів різної форми.

Висновки

В курсовій роботі розглянута теорія та практика спектрального аналізу функцій при спектральному представленні неперіодичних функцій з застосуванням математичного апарату інтегральних перетворень Фур’є.

Від періодичного коливання до неперіодичного можна просто перейти, якщо не змінюючи форми імпульсу безмежно збільшувати період його проходження, що, у свою чергу, приведе до нескінченно близького розташування друг до друга спектральних складових, а значення їхніх амплітуд стають нескінченно малими. Однак початкові фази цих складових такі, що сума нескінченно великої кількості гармонійних коливань нескінченно малих амплітуд відрізняється від нуля й дорівнює функції тільки там, де існує імпульс. Тому поняття спектра амплітуд для неперіодичного коливання не має змісту, і його заміняють, використовуючи пряме й зворотне перетворення Фур'є. Відомо, що функція, що задовольняє заданим умовам, може бути представлена інтегралом Фур'є (зворотне перетворення Фур'є)

.

Використовуючи пряме перетворення Фур'є, приходимо до інтеграла

.

Функція

називається комплексною спектральною щільністю амплітуд, а її модуль - спектральною щільністю амплітуд. Аргумент називають фазовим спектром неперіодичного коливання.

Список використаної літератури

1. Ильн В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.1М.: "Наука" - 387с-1980. ч.2М. Наука. - 444с-1982.

2. Овчинников П.П. Вища математика: підручник. Ч.2-3є вид. - К.: Техніка, 2001. - 792 с.

3. 3. Поляков М.Г., Фомичова Л.Я., Сушко С.О., Математичні основи теоретичної електротехніки: Навчальний посібник - Дн.: НГА України, 2001. - ч.1-210с.

4. 4. Синайский, Е.С. Высшая математика: учеб. пособие. - 2е изд. - / Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л.И.; Министерство образования и науки Украины, Национальный горный университет. - Днепропетровск: НГУ. - Ч.1. - 2009. - 399 с.

5. Синайский Е.С. Высшая математика / Синайский Е.С., Новикова Л.В., Заславская Л. И.; Министерство образования и науки Украины, Национальный горный университет. - Днепропетровск: НГУ. - Ч.2. - 2006. - 452 с.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - М.: „Наука”, 1970. - Т.2. - 800 с.

7. Харкевич А.А. Спектры и анализ - М.: Физматгиз, 1980. - 246 с.