Планы второго порядка, реализация В3-плана (стр. 2 из 3)
Gрасч=
, (1.11)где
- сумма всех дисперсий;S2max – наибольшая из всех найденных дисперсий.
Gрасч=13,98/112,22= 0,125
При q=0,05 и f=n-1=3, Gтабл=0,29[1. табл. Ж1].
Так как Gрасч <Gтабл, то гипотеза об однородности дисперсии опытов принимается.
1.2.3 Расчет дисперсии воспроизводимости
Дисперсия воспроизводимости определяется по формуле:
S2 
, (1.12)
где N- число опытов.
S2{y}=112,22/14=8,02
Число степеней свободы для данной процедуры:
fy=N(n-1) (1.13)
fy=3*14=42.
2 Построение математической модели
2.1 Расчет коэффициентов регрессии
По результатам В3-план построим математическую модель:
Y=b0+b1*x1+b2*x2+b3*x3+b11*x12+b22*x22+b33*x32+b12*x1*x2+b13*x1*x3+b23*x2*x3
Таблица 2.1 – Матрица для расчета коэффициентов регрессии
| № опыта | X0 | X1 | X2 | X3 | X11 | X22 | X33 | X12 | X13 | X23 | Yij | Ŷij |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 16.02 | 15.92 |
| 2 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 33.66 | 33.60 |
| 3 | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 13.1 | 12.95 |
| 4 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 27.36 | 27.00 |
| 5 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 33.38 | 33.74 |
| 6 | 1 | -1 | 1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | 59.32 | 59.47 |
| 7 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | 1 | 34.76 | 34.82 |
| 8 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 56.82 | 56.92 |
| 9 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 19.42 | 19.25 |
| 10 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 38.96 | 39.13 |
| 11 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 30.58 | 30.22 |
| 12 | 1 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 27.1 | 27.46 |
| 13 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 23.62 | 24.29 |
| 14 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 48.84 | 48.17 |
Используя матрицу базисных функций, табл. 2.1, коэффициенты регрессии определяем по следующим формулам:
- свободного члена:
b0=-
; (2.1)- линейных коэффициентов регрессии:
bi=
; (2.2)- квадратичных коэффициентов:
bii =
; (2.3)- коэффициентов при парных взаимодействиях:
biu=
. (2.4)2.2 Расчет дисперсий коэффициентов регрессии
Формулы для определения дисперсий: - дисперсия оценки свободного члена:
S2{b0}=
; (2.5)S2{b0}=3,26
- дисперсия оценки линейных коэффициентов регрессии:
S2{bi}=
; (2.6)S2{bi}=0,80
- дисперсия оценки квадратичных коэффициентов регрессии:
S2{bij}=
; (2.7)S2{bii}=3,26
- дисперсия оценки коэффициентов при парных взаимодействиях:
S2{biu}=
. (2.8)S2{biu}=1,00
2.3 Проверка значимости коэффициентов регрессии
Для оценки значимости регрессии используем t – критерий Стьюдента. По следующим формулам определяются расчетные значения t – критерия Стьюдента:
tрасчi=
, (2.9)где S{bi}=
- среднеквадратическое отклонение соответствующих дисперсий коэффициентов регрессии;tрасчii=
, (2.10)tрасчiu=
. (2.11)Таблица 2.2 - Проверка значимости коэффициентов регрессии
| обозначение коэффициентов регрессии | значение коэффициентов регрессии | Расчетные значения t-критерия Стьюдента |
| b0 | 29.98 | 9 |
| b1 | -9.94 | -12 |
| b2 | 1.38 | 2 |
| b3 | -11.94 | -15 |
| b11 | -0.79 | 0 |
| b22 | -1.14 | 0 |
| b33 | 6.25 | 2 |
| b12 | -0.91 | -1 |
| b13 | 2.01 | 2 |
| b23 | 1.01 | 1 |
По t – критерию Стьюдента, по заданному уровню значимости (q=0,05) ичислу степеней свободы (fy=42), связанному с дисперсией воспроизводимости, находим табличное значение t – критерия Стьюдента [1. табл. Д1]:
tтабл =2,02
Если tрасч, > tтабл, то соответствующий коэффициент регрессии значим. Незначимые коэффициенты регрессии должны быть исключены из математической модели. Однако, в данной расчетной части с целью сохранения единообразия расчетов процедура исключения не проводится.
Получена следующая математическая модель в нормализованных обозначениях факторов:
Y=101,65+42,425х1+2,9х2+15,5х3+8,4х11-2,98х22-2,46х33+2,22х1х2+6,28х1х3+1,11х2х3
2.4 Проверка модели на адекватность
Для проверки адекватности модели используют дисперсию адекватности S2aq, процедура расчета которой зависит от вида дублирования опытов. Так как в нашем случае дублирование равномерное, то дисперсия адекватности рассчитывается по формуле:
(2.12)
где faq=N-p=14-10=4,
где p – число оцениваемых коэффициентов;
S2aq= 0,39
Затем, по F – критерию Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяется однородность S2aqдисперсии адекватности (с числом степеней свободы faq):
Fрасч=
(2.13)Fрасч= 0,39/8,02=0,049
По таблице значения F - критерия Фишера [1. табл. Е1]:
Fтабл=2,84. Так как Fтабл.>Fрасч, следовательно, найденную модель можно считать адекватной.
Таблица 2.3 – Математическая модель
| Номер опыта | Факторы в натуральных обозначениях | Значение выходной величины | |||
| X1, d, см | X2, Н, мм | X3 , m, шт | опытное | модельное | |
| 1 | 56 | 225 | 9 | 15.9055 | 15.9220 |
| 2 | 40 | 225 | 9 | 32.0175 | 33.6000 |
| 3 | 56 | 125 | 9 | 13.7255 | 12.9480 |
| 4 | 40 | 125 | 9 | 26.3175 | 26.9960 |
| 5 | 56 | 225 | 5 | 33.0255 | 33.7440 |
| 6 | 40 | 225 | 5 | 57.4575 | 59.4720 |
| 7 | 56 | 125 | 5 | 34.8455 | 34.8200 |
| 8 | 40 | 125 | 5 | 55.7575 | 56.9180 |
| 9 | 56 | 175 | 7 | 19.3855 | 19.2460 |
| 10 | 40 | 175 | 7 | 37.8975 | 39.1340 |
| 11 | 48 | 225 | 7 | 29.1295 | 30.2220 |
| 12 | 48 | 125 | 7 | 27.1895 | 27.4580 |
| 13 | 48 | 175 | 9 | 24.0095 | 24.2940 |
| 14 | 48 | 175 | 5 | 47.2895 | 48.1660 |
Уравнение регрессии в натуральных обозначениях факторов следующее:
Y=193,2-0,53d+0,23H-35,65m-0,012d2-0,0005H2+1,56m2-0,0022dH+0,13dm+0,01Hm
Таблица 2.4 – Значения выходной величины.
| X1X2 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 |
| 125 | 162.738 | 155.4855 | 147.85 | 139.83 | 131.426 |
| 150 | 162.85 | 155.378 | 147.522 | 139.282 | 130.658 |
| 175 | 162.338 | 154.6455 | 146.57 | 138.11 | 129.266 |
| 200 | 161.2 | 153.288 | 144.992 | 136.312 | 127.248 |
| 225 | 159.438 | 151.3055 | 142.79 | 133.89 | 124.606 |
Таблица 2.5 – Значения выходной величины.
| X1X3 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 |
| 5 | -90.45 | -99.202 | -108.34 | -117.86 | -127.76 |
| 6 | -148.46 | -157.732 | -158.03 | -177.43 | -187.85 |
| 7 | -209.59 | -219.382 | -207.72 | -240.12 | -251.06 |
| 8 | -273.84 | -284.152 | -257.41 | -305.93 | -317.39 |
| 9 | -341.21 | -352.042 | -307.1 | -374.86 | -386.84 |
Таблица 2.6 – Значения выходной величины.
| X2X3 | 125 | 150 | 175 | 200 | 225 |
| 5 | 81.1375 | 84.7 | 87.6375 | 89.95 | 91.6375 |
| 6 | 63.8975 | 67.71 | 70.8975 | 73.46 | 75.3975 |
| 7 | 49.7775 | 53.84 | 57.2775 | 60.09 | 62.2775 |
| 8 | 38.7775 | 43.09 | 46.7775 | 49.84 | 52.2775 |
| 9 | 30.8975 | 35.46 | 39.3975 | 42.71 | 45.3975 |
2.5 Построение графической зависимости
Рисунок 2.1 – Зависимость посылки по мощности привода от диаметра распиливаемых бревен и толщины бруса.