Плоские кривые (стр. 3 из 9)
а) Алгебраические кривые
Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.
Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде
Очевидно, число членов уравнения равно
. Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители
то такому уравнению будет соответствовать система кривых 
В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая
, будем иметь 
, и если a1, a2, …,an – корни уравнения 
, то 
Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).
Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.
Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.
Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).
Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых
, касающихся данной алгебраической кривой.класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней.
Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая
пересечена прямой . Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x2+y2=1, пересечём её прямой
. Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u2+v2) x2+2ux+(1-v2)=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v2(1-u2-v2)=0. Подобным же образом получим равенство u2(1-u2-v2)=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u2-v2=0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности.Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить к этому уравнению уравнение
пучка всех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условие того, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющим условие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальных координатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двух бесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнением кривой в исходной системе.Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучок прямых
, проходящих через произвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которые касаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v2y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этом равенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v были равны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x)2-4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданной кривой.Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривых второго порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общем случае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не только её порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек, точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядок кривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точек возврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихся кривой в двух точках), w – число точек перегиба кривой, то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:
k=n(n – 1) – 2d– 3r, n=k(k – 1) – 2t– 3w,
w=3n (n– 2) – 6d– 8r, r=3k (k– 2) – 6t– 8w.
Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены им впервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.
Род алгебраической кривой.
Известно, что нераспадающаяся кривая n-го порядка может иметь не более чем
двойных точек. Действительно, если бы она имела, например, 
двойных точек, то через эти точки и через n – 3 других точек её можно было бы, как легко видеть, провести кривую порядка n – 2. Но так как каждая двойная точка первой кривой должна считаться за две точки пересечения её со второй кривой, то получается, что эти кривые имели бы 
общих точек. Последнее, однако, невозможно, так как нераспадающейся кривой будет справедливо и для точек высшей кратности, если точку кратности kсчитать за 
двойных точек. Например, кривая 5-го порядка может иметь семь двойных точек и одну тройную: 
. Это соглашение оправдывается тем, что через точку кратности k проходит k ветвей этой кривой. Если их представлять себе отделёнными от кратной точки, то, пересекаясь попарно, они дадут двойных точек, которые, совпадая, и образуют точку кратности k.Дадим понятие рода кривой. Род, или жанр, алгебраической кривой определяется числом р, являющейся разностью между наибольшим числом двойных точек, которые может иметь кривая этого порядка, и их фактическим числом у данной кривой. С ранее упомянутыми числовыми характеристиками алгебраической кривой эта новая характеристика р связана соотношениями
Если рассматриваемая кривая имеет наибольшее число двойных точек, возможных для кривых её порядка, то, очевидно, это будет кривая нулевого рода. Эти кривые обладают весьма важным свойством, а именно, координаты точки, двигающейся по такой кривой, могут быть выражены рациональными функциями некоторого параметра.
1) Рациональные кривые
Рациональными являются кривые четвёртого, имеющие три двойные точки. Координаты точки таких кривых являются целыми рациональными функциями 4-й степени от параметра.
Укажем два способа конструктивного образования рациональных кривых 4-го порядка.
С проективной точки зрения рациональная кривая 4-го порядка определяется пересечением прямых, принадлежащих некоторому пучку, с прямыми проективно соответствующего ему пучка касательных к некоторой кривой второго порядка.
Рациональные кривые 4 – го порядка могут быть получены также квадратичным преобразованием кривой второго порядка. Действительно, если рациональную кривую второго порядка отнести к координатному треугольнику, вершины которого совпадают с тремя двойными точками этой кривой, то уравнение её запишется в виде
Пользуясь формулами квадратичного преобразования
, 
, 
,получим уравнение
которое выражает кривую 2-го порядка, например окружность, пересекает какую-либо сторону координатного треугольника в двух точках, то соответствующая кривая второго порядка должна иметь, по свойству квадратичного преобразования, в противолежащей вершине этого треугольника две касательные и, значит, узловую точку. Если указанные две точки совпадают в одну, то совпадают в одну и соответствующие им касательные и, значит, узловую точку. Если указанные две точки совпадают в одну, то совпадают в одну и соответствующие им касательные, и следовательно, кривая четвёртого порядка будет иметь в вершине треугольника точку возврата. Если, наконец, точки пересечения кривой второго порядка со стороной треугольника будут мнимыми, то противолежащая вершина треугольника является изолированной точкой кривой четвёртого порядка.