Плоские кривые (стр. 5 из 9)
До сих пор нет удовлетворительной классификации трансценденных кривых. Попытки определить основы теории трансцендентных кривых были мало состоятельны.
Одна из таких попыток заключалась в следующем. Было замечено, что у подавляющего числа известных трансцендентных кривых, также как и у всех алгебраических кривых, угловой коэффициент 
касательной в каждой точке кривой является корнем алгебраического уравнения, коэффициенты которого представляют собой полиномы от х и у. Иными словами, дифференциальные уравнения подавляющего большинства известных в науке трансцендентных кривых являются уравнениями первого порядка вида
4. Кривые, изучаемые в школьном курсе математики
Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. [9, 10]
Уравнение
называется каноническим уравнением эллипса.Можно выделить следующие свойства эллипса (см. рис. 13):
1. Точка О (0; 0) принадлежит эллипсу;
2. х и у входят в уравнение чётной системы, поэтому если точка М (х; у) принадлежит эллипсу, то эллипсу принадлежит точка М1(-х; у), М2(х; – у), М3(-х; – у), следовательно, эллипс – фигура, симметричная относительно Ох, Оу, начала координат. Оси Ох, Оу, являются осями симметрии эллипса. Можно доказать, что эллипс, отличный от окружности, не имеет других осей симметрии;
3. Найдём точки пересечения с осями координат:
Рис. 13
С осью Ох: у=0
А1(а; 0), А2(-а; 0)С осью Оу: х=0,
В1(b; 0), B2(-b; 0)a >b, т. к. b2 = a2 – b2, следовательно А1A2 – большая ось эллипса, В1В2 – малая ось эллипса;
Исследуем поведение эллипса в первой четверти:
, следовательно, 
.Так, с возрастанием х от 0 до ау < b, то функция у в первой четверти убывающая. При х = 0, у = b; при х = а у = 0, А1A2 – вершины эллипса.
Гиперболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть данное положительное число 2а, меньшее, чем расстояние 2с между фокусами. [5]
Каноническим уравнением гиперболы является уравнение
. Оно используется для изучения её геометрических свойств (см. рис. 14):1. Точка О (0; 0) не принадлежит гиперболе.
2. Гипербола симметрична относительно осей и начала координат. Так же как и в случае эллипса, точка О является центром симметрии гиперболы, а прямые Ох и Оу – осями симметрии. Центр симметрии называется центром гиперболы.
3. С осью Ох: у=0
, А1(а; 0), А2(-а; 0)С осью Оу: х=0,
, В1(b; 0), B2(-b; 0) 
Рис. 14
4. Т. о.
х = – а и х = а – точки гиперболы лежат вне полосы. [14]Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус, и называемой директриссой. [7, 8]
Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице.
Уравнение у = 2 рх является каноническим уравнением параболы. Каноническое уравнение параболы также используется для изучения её геометрических свойств (см. рис. 15):
Рис. 15
1. Точка О (0; 0) принадлежит гиперболе;
2. Если точка М (х; у) принадлежит параболе, то точка М1(х; – у) также принадлежит параболе, следовательно, парабола симметрична относительно Оу.
3. Из уравнения параболы у – любое,
, т.е. «ветви» параболы расположатся в положительной полуплоскости, относительно Оу.4. В I четверти
, при 
, 
. В первой четверти у возрастает. [13]5. Цели и задачи факультативных занятий
В настоящее время традиционный взгляд на содержание обучения математике, её роль и место в общем образовании пересматривается и уточняется. Для продуктивной деятельности в современном мире требуется достаточно прочная базовая математическая подготовка.
Факультативные занятия по математике призваны углублять математические знания школьников, уже определивших основной круг своих учебных интересов.
Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание инициативы и творчества.
Для того, чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо организовать там, где есть:
1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно – методическом уровне;
2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс. [12]
Факультативы – занятия, основанные на принципе добровольного участия и призванные решать три основные задачи:
1) повышение уровня математического мышления, углубление теоретических знаний и развитие практических навыков учащихся, выявления математических способностей;
2) организация досуга учащихся в свободное от учёбы время.
Данный факультатив предназначен для учеников 11 классов.
Для проведения факультатива выделяется 1 час в неделю, всего 16 часов, разработан на первое полугодие. [18]
По существу, факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.
6. Тематическое планирование факультатива
| 1 | История изучения плоских кривых | 1 ч |
| 2 | Способы образования кривых | 3 ч |
| Классификация плоских кривых | 4 ч | |
| 3 | Алгебраические кривые | 1 ч |
| 4 | Род алгебраических кривых | 2 ч |
| 5 | Трансцендентные кривые | 1 ч |
| Кривые, изучаемые в школьном курсе математики | 6 ч | |
| 6 | Эллипс | 1 ч |
| 7 | Гипербола | 1 ч |
| 8 | Парабола | 2 ч |
| 9 | Итоговое занятие. Выпуск математической газеты | 2 ч |
Занятие №1
Тема: История изучения плоских кривых
Цели: 1) познакомить с историей изучения плоских кривых;
2) развить интерес у учащихся к знаниям, повысить интерес к учению;
3) углубить знания, полученные на уроках математики.
Ход занятия
I. Организационный момент
II. Основная часть
1) Лекция об истории изучения плоских кривых [см. гл. I§ 1]
2) Задание
Ребята, разгадаем с вами кроссворд:
ПАСКАЛЬ
ПАПИРУС
АПОЛЛОНИЙ
РОБЕРВАЛЬ
АРХИМЕД
ГЕОМЕТРИЯ
По горизонтали
1. Учёный, считавший, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы