Найдём пересечение этих множеств.
I. Построим эллипс

но т. к. неравенство строгое, то точки эллипса не принадлежат искомой области, т.е. неравенство (2) задаёт внутренние точки эллипса.

Устанавливаем, что R = 3,

(0<
k <1),

Cтроим осевой прямоугольник со сторонами

и изображаем эллипс.
II. Строим множество точек, заданных вторым неравенством. Для этого строим прямую

и штрихуем определяемую область.

III. Аналогичные рассуждения для построения области, заданной неравенством у + 2 > 0.
Построение.
б)

Построим множество точек, определяемых 1-м, 2-м, и 3-м неравенствами.
Найдём пересечение этих множеств.
I.

– эллипс, точки которого не принадлежат искомой области (неравенство строгое), т.е. неравенство задаёт внешние точки эллипса. Приведём уравнение к каноническому виду

Строим осевой прямоугольник со сторонами a иb, изображаем эллипс.
II. Строим множество точек, заданных неравенством (2). Для этого изображаем прямую у = 3 и штрихуем определяемую область.

III. Рассуждаем аналогично.
Построение.
Тема: Гипербола
Учащиеся хорошо знакомы с гиперболой как с графиком функции

и с такими понятиями, как её ветви и асимптоты. Гипербола не только является центрально-симметричной линией (как график нечётной функции), но и имеет две оси симметрии – это биссектрисы пар вертикальных координатных углов (рис. 19).
Рассмотрим уравнение x2 – y2 = lи покажем, что линия, задаваемая им – это тоже гипербола. Перепишем уравнение в виде (x – y) (x + y) = l. Введём новые переменные:

тогда в системе (
u,
v) исходное уравнение примет вид
uv =
l, и это будет гипербола, расположение ветвей которой полностью определяется знаком числа
l.
Для изображения гиперболы выясним, как расположены оси системы координат (u, v) в координатной плоскости (х, у), считая, что u – абсцисса и v – ордината в новой системе координат. Ось абсцисс – это множество точек, для которых v = 0, т.е.

в исходной системе координат, или в исходной системе координат, или

. Это биссектриса чётных координат углов. Аналогично,

. Это биссектриса нечётных координатных углов. Для выяснения направлений на осях рассмотрим на оси
Ou точку
А (рис. 20), которая в системе координат (
х,
у) имеет координаты (1, -1). Тогда для этой точки
u = 1 – (– 1) = 2 > 0, т.е. она лежит на положительной полуоси
Оu. Аналогично, рассматривая на оси
Ov точку
В (1; – 1), получим, что для неё

, и, значит, она расположена на положительной полуоси
Ov.Это позволяет сделать вывод о том, что преобразование

переводит систему координат (
х,
у) в систему (
u,
v), оси которой повёрнуты пол отношению к исходной на угол

.

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21
Уравнение при этом преобразуется в уравнение uv = l, которое равносильно уравнению

ибо

равенство означало бы

, и, значит,

В зависимости от знака числа
l мы можем изобразить ветви гиперболы в соответствующих координатных четвертях системы

, тем самым будет получено изображение гиперболы, задаваемой уравнением

в системе координат

.
При этом, подставляя в исходное уравнение

или

в зависимости от знака
l, мы получим точки пересечения гиперболы с той или иной координатной осью. Эти точки называются вершинами гиперболы (рис. 21).
Если к гиперболе

провести касательные в её вершинах (
Теорема. Касательная к гиперболе в произвольной её точке является биссектрисой внутреннего угла
М0 треугольника
F1M0F2, имеющего своими вершинами фокусы гиперболы и данную точку
М0, см. рис. 27), то они пересекут асимптоты гиперболы в точках, которые будут вершинами квадрата (это следует из соображений симметрии). Удобно этот квадрат назвать осевым квадратом гиперболы (рис. 23). Центр этого квадрата совпадает с центром симметрии гиперболы, её диагонали – это её асимптоты, а сторона равна

.

Рис. 22, 23
Если произвести сжатие к оси Ох с коэффициентом k > 0, k¹1, то гипербола преобразуется в линию, также называемую гиперболой, но о такой гиперболе говорят, что она неравнобокая. Исходную же гиперболу называют равнобокой. Прн сжатии осевой квадрат преобразуется в осевой прямоугольник, а диагонали квадрата – в диагонали прямоугольника (они будут асимптотами для получающейся неравнобокой гиперболы). Уравнение неравнобокой гиперболы имеет вид:

, где
k2¹1.

Рис. 24
Таким образом, уравнение

(
k¹ 0,
l¹ 0) всегда задаёт гиперболу. Она равнобокая, если
k = 1 и неравнобокая, если
k = -1. Её вершины лежат на оси
Ох, если
l > 0, и на оси
Оу, если
l < 0. Для её изображения нужно сначала построить осевой прямоугольник, его диагонали и вершины гиперболы (рис. 24).
Преобразуем уравнение

. Разделим обе его части на
l:

(1)
Если l> 0, то уравнение примет вид (1), а если
l < 0 –

(2).
Сделаем замену

,

, тогда получим уравнение гиперболы в общем виде

(3)

(4).
Уравнения (3) и (4) называются каноническими уравнениями, а гиперболы, заданные этими уравнениями, называются сопряжёнными, а и b – стороны осевого прямоугольника. Если a= b– осевого квадрата.
Для закрепления решим несколько задач. [17]
1) Построить графики.
а)

I способ.
Это уравнение равносильно уравнению

. Поскольку
l< 0, то вершины гиперболы расположены на оси
Оу. Гипербола неравнобокая, т. к.

. Строим осевой прямоугольник со сторонами

и

, где

,

. Чертим график гиперболы.