Побудова зображень предметів на площині (стр. 1 из 2)

Житомирський Військовий Інститут

Національного Авіаційного Уніврситету

Реферат

на тему:

Побудова зображень предметів на площині

Житомир 2010

Нарисна геометрія – наука, яка вивчає просторові форми та способи зображення їх на площині.

Основною задачею нарисної геометрії є вивчення методів побудови зображень просторових форм та в розробці способів рішення просторових задач за допомогою зображень.

Предмет, якій зображують називають оригіналом або моделлю. Креслення повинно містити геометричну інформацію про форму та розміри оригіналу. До такого креслення висуваються слідуючи основні вимоги:

– наочність, тобто давати просторове уявлення про модель;

– простота з точки зору графічного виконання;

– точність – графічні операції, які виконуються на кресленні, повинні давати точні рішення.

Для побудови зображень предметів на площині користуються методом проекціювання. Тому наступне питання - метод проекцій.

1. Сутність методу проекціювання

Отже, проекція - це зображення предмета, "відкинуте" на площину за допомогою променів. Спроекціювати предмет — це означає зобразити його на площині (рис.1).

Залежно від положення проекціюючих променівпроекції поділяють на центральні та паралельні.

Рис. 1

Ідею центрального проекціювання видно з рис.2. Точка S, з якої виходять проекціюючі промені, називається центром проекціювання. Площина π₁ на яку проекціюється предмет, називається площиною проекцій. Площина π₁і точка S становлять апарат центральної проекції. Щоб спроекціювати трикутник, треба з центра проекцій Sчерез усі його вершини провести проекціюючі промені до перетину з площиною проекцій π_1. Одержимо точки А₁В₁С₁, які називаються центральними проекціями вершин А, В, С на площину π₁, а трикутник А₁В₁С₁ - центральною проекцією трикутника ABC.

Метод паралельного проекціювання розглянемо за допомогою рис. 3. Як і в попередньому випадку, вибирають площину проекцій π₁. Замість центра проекцій Sзадають напрям проекціювання s, тобто вважають, що центр проекцій Sвіддалений у нескінченність. Тому проекціюючі промені паралельні між собою. Площина π₁і напрям sстановлять апарат паралельної проекції. Щоб спроекціювати трикутник ABCна площину π₁, через вершини А, В, С проводять проекціюючі промені паралельно напряму проекціювання s. Внаслідок перетину цих променів з площиною π₁утворюється трикутник А₁В₁С₁, який являє собою паралельну проекцію трикутника ABC.

Рис. 5

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проекціюючі промені перпендикулярні до площини проекцій (рис. 4), то таке проекціювання називають прямокутним, а проекції, які при цьому одержують — прямокутними, або ортогональними. Якщо ж кут нахилу променів не дорівнює 90°, то такі паралельні проекції називаються косокутними. У кресленні користуються прямокутними проекціями.

Ортогональне проекціювання має ряд переваг перед центральним та косокутним паралельним проекціюванням:

– простоту геометричних побудов ортогональних проекцій предметів;

– зберігання на проекціях, при певних умовах, форми та величини лінійних та кутових розмірів проекціюючих предметів.

2. Побудова за заданими координатами епюрів прямих, взаємного положення прямих та прямих і точок.

Розглянемо просторову модель координатної площини проекцій. Для визначення положення геометричної фігури в просторі і виявлення її форми по ортогональних проекціях найбільш зручною є декартова система координат. Декартова система координат складається з трьох взаємно перпендикулярних площин.

π₁ – горизонтальна площина проекцій;

π₂ – фронтальна площина проекцій;

π₃ – профільна площина проекцій.

Лінії перетину площин проекцій утворюють осі координат: X - вісь абсцис, Y - вісь ординат, Z - вісь аплікат, а точка перетину координатних осей O береться за початок координат.

π₁ – горизонтальна площина проекцій; π₂ – фронтальна площина проекцій;

Площини проекцій перетинаються по вісі координат Ох. Обертанням навколо вісі Ох площину π₁ суміщають з площиною π₂. Отримаємо комплексне креслення

Схему побудови зворотного ортогонального креслення розвинув Гаспар Монж – знаменитий французький учений. По схемі Монжа оригінал (наприклад точка) проекціюється ортогонально на дві взаємно перпендикулярні площини проекції π₁ - горизонтальну і π₂ - фронтальну площини проекцій.

Лінія зв'язку - це пряма, що з’єднує дві проекції точки на комплексному кресленні і перпендикулярна осі проекцій.

У результаті ми отримали двохпроекційне комплексне креслення точки А.

Твердження: Дві прямокутні проекції точки повністю визначають її положення в просторі основних площин проекцій.

Тобто комплексне креслення або епюр Монжа (з фр. «креслення») – це зображення, яке отримуємо в результаті обертання площини проекцій π₁ на кут 90° до суміщення π₂.

В кресленні ж при побудові зображень часто користуються трьома проекціями на три площини проекцій. Розглянемо, за якими законами це реалізується.

Комплекснекреслення

А₁ – горизонтальна та А₂ – фронтальна проекції точки А. Проекціюючі промені АА₁ та АА₂ перпендикулярні відповідним площинам проекцій. Точки перетину проекціюючої площини з віссю Ох позначена А_Х. На комплексному кресленні горизонтальна А₁та фронтальна А₂ проекції точки А з’єднуються вертикальною лінією проекційного зв’язку, яка ^ вісі Ох .

Для переходу до комплексного креслення просторову модель розрізають по вісі Оу та суміщають всі три площини проекцій в одну: π₁ обертають навколо вісі Ох, π₃ обертають навколо вісі Оz до їх спів падання з π₂ .Вісь Оу розпадається на дві вісі у₁ та у₃

Проекціюючі промені АА₁, АА₂ та АА₃ проводять перпендикулярно відповідним площинам проекцій й отримують проекції точки А: горизонтальну А₁, фронтальну А₂ та профільну А₃. Точки перетину проекціюючих площин з відповідними осями позначені А_Х , А_Y, А_Z.

На комплексному кресленні лінії проекційного Проекціюючі промені АА₁, АА₂ та АА₃ проводять перпендикулярно відповідним площинам проекцій й отримують проекції точки А: горизонтальну А₁, фронтальну А₂ та профільну А₃. Точки перетину проекціюючих площин з відповідними осями позначені А_Х , А_Y, А_Z.

На комплексному кресленні лінії проекційного зв’язку ^ осям координат. Лінія А₁А₂^Ох розташована вертикально, а А₂А₃^Оz– горизонтально. При побудові лінії проекційного зв’язку від А₁ до А₃ необхідно зберігати рівність координатних відрізків по осі Оу : А_ХА₁= А_ZА₃

Для переходу до просторову модель розрізають по вісі Оу та суміщають всі три площини проекцій в одну: π₁ обертають навколо вісіπ₃ обертають навколо вісі Оz до їх спів падання з π₂ .Вісь Оу розпадається на дві вісі у₁ та у₃

Перпендикуляр АА₁ називається горизонтально-проекціюючим, АА₂ - фронтально-проекціюючим і АА₃ - профільно-проекціюючим променем.