----------*===================*----------
O a M
Чтобы осуществить такое сопоставление, возьмем прямую линию бесконечную в обе стороны, на ней выберем начальную точку O и примем определенную единицу длины для измерения отрезков. Очевидно, всегда можно построить отрезок, имеющий своею длиною любое заранее заданное рациональное число a и нанести его вправо либо влево от O, смотря по тому, будет ли a положительно или отрицательно. Таким образом мы получили определенную концевую точку M, которую можно рассматривать как точку, соответствующую рациональному числу a. Следовательно, можно сказать, что всякому рациональному числу соответствует одна и только одна точка на прямой.
Полученную точку M мы изображаем черной и непрозрачной; она-то и сопоставляется с взятым рациональным числом a, называющимся абсциссой точки M. Когда это проделано со всяким рациональным числом a, прямая окажется покрытой густой сетью черных непрозрачных точек M, как бы осевших на прямой и населяющих - без пустот - каждый ее участок, т. е. отрезок, где бы он ни лежал и как бы мал он ни был. У всякой из этих точек M имеется своя абсцисса a, являющаяся рациональным числом. Чем больше арифметически, т. е. беззначно, величина абсциссы a, тем дальше от начала O лежит точка M.
Это и есть искомое нами сопоставление последовательности рациональных чисел с точками прямой, при котором все точки M полученной черной непрозрачной сетки имеют, очевидно, совершенно такое же взаимное расположение друг относительно друга, какое имеют между собой их рациональные абсциссы a. Конец M всякого отрезка OM, соизмеримого с взятой единицей длины, заведомо содержится в сети, ибо такая точка M имеет рациональную абсциссу. Точки с рациональными абсциссами мы, для краткости речи, будем называть просто рациональными точками и составленную из таких точек сеть будем называть тоже рациональной сетью.
Если бы каждая точка прямой оказалась содержащейся в построенной нами сети, т. е. если бы совсем не существовало никаких несоизмеримых отрезков, тогда все дело обстояло бы необыкновенно просто: в этом случае каждая точка нашей прямой имела бы рациональную абсциссу и, значит, мы не имели бы ни малейшей нужды в каких-либо новых числах, ибо тогда одних только рациональных чисел было бы достаточно для выражения всех теоретических соотношений.
Но действительность оказывается гораздо сложнее, и одним из великих открытий, сделанных в глубокой древности, является установление наличия отрезков, несоизмеримых с данной единицы длины. По-видимому, первым примером этого рода была диагональ квадрата, сторона которого принята за единицу длины.
Отложив такой отрезок от начала O, мы получим точку M, которая не соответствует никакому рациональному числу и у которой, строго говоря, пока нет никакой абсциссы.
-------*===================*=======*-------
O 1 M
А так как имеется бесчисленное множество различных длин, несоизмеримых с единицей масштаба, то прямая линия оказывается в бесконечное число раз больше богатой своими точками, чем последовательность рациональных чисел своими числами. Значит, рассматриваемое сопоставление точек и чисел вынуждают нас признать некоторую неполноту в последовательности рациональных чисел, тогда как прямой линии мы приписываем всю полноту и абсолютное отсутствие каких-либо просветов, т. е. сплошность или непрерывность.
Поскольку последовательность рациональных чисел оказывается недостаточной, является необходимость в пополнении нашей последовательности чисел таким образом, чтобы она получила такую же сплошность, т. е. полноту или непрерывность, как и сама прямая линия. Это достигается введением иррациональных чисел, определяемых лишь при посредстве рациональных чисел.
Итак, мы пришли к следующему положению: иррациональные числа совершенно заполняют все просветы, имеющиеся в последовательности рациональных чисел, т. е. мы принимаем, что всякой точке прямой соответствует число, рациональное или иррациональное, называемое абсциссой этой точки, и обратно.
Арифметически же иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных десятичных дробей.
Возводившееся веками здание современной математики (здание, фундаментом которого является представление о числе) выглядит столь грандиозным и совершенным, что сама мысль о наличии в этом фундаменте изъянов кажется кощунственной. Уж точно кощунственным прозвучит утверждение, что все это циклопическое сооружение опирается на ложные представления - представление о "сплошности" (бесструктурности) математической прямой (хорошо известной нам числовой оси) и представление о бесструктурности математической точки. Очевидно, эти представления сформировались на основе других, более общих представлений о свойствах материи - о существовании в природе бесструктурных объектов - атомов. В этом можно увидеть признак определенного рода инерции нашего мышления. Ведь несмотря на то, что около века известен установленный факт о наличии у атома сложной структуры, мы по-прежнему зовем эти объекты атомами, т. е. "неделимыми". Но только ли в инерции дело? Скорее всего, дело здесь в дефиците принципиально новых, адекватных представлений о свойствах материи. Существует и еще одна причина появления ложных представлений о свойствах математической прямой - о ее "сплошности" и она заключается в следующем. Как уже упоминалось, числа возникли из практической потребности в счете и в оном качестве они существовали в течение довольно длительного промежутка времени. Но на определенном этапе эволюции представлений о числе произошел качественный скачок - т. н. "отрыв" числа от материального носителя. Это и обусловило появление абстрактных, идеальных объектов с произвольно приписанными им свойством "сплошности", т. е. бесструктурности - математической прямой и математической точки.
Манипуляции с объектоми, обладающими несуществующими свойствами не проходят даром, результатом их оказывается появление ложных объектов, таких, например, как бесконечные периодические и непериодические дроби, т. е. часть рациональных и все иррациональные числа. Эти математические объекты принципиально нельзя назвать числами, в рамках действия принципа структурной организации материи числа и обозначенные объекты имеют разный системный смысл. В чем заключается эта разница и что в таком случае представляет собой собственно число? Попробуем - хотя бы бегло, разобраться в этом.
Примем за точку отсчета утверждение, что первоначально числа возникли из потребности счета различных предметов. Что, по сути, являет собой процесс счета, как его можно описать?
Пусть мы имеем какое-то количество предметов, которые нам необходимо сосчитать. Абстрагируемся от всех конкретных свойств этих предметов, кроме двух: самого факта существования такого предмета и наличия у него внутренней структуры. Представим процесс счета как "нанизывание" наших предметов на какую-то условную нить. В результате подобной процедуры каждый такой предмет найдет на этой нити свое место. Если теперь мы вытянем эту нить в струну, то получим аналог математической прямой как некой идеальной системы, некоего одномерного идеального пространства. Каждому узлу в этой одномерной сети (идеальному аналогу реального предмета) можно сопоставить уникальный символ для его идентификации. Самым удобным в этом смысле является число, т. к. оно характеризует наиболее общее системное свойство каждого такого предмета - его место в упорядоченном (в отличие от обычного, неупорядоченного) множестве - пространстве.
Итак, мы приняли, что число - это информационный идентификатор места объекта в системе, в случае, если этот объект рассматривается в качестве элемента такой системы. Очевидно, при таком подходе для манипуляций с числами нет никакой необходимости "отрывать" их от материальных объектов - вместо этого появляется возможность манипулировать самими идеализированными объектами, тем самым осуществляя преобразования нашего идеального пространства. Этот момент чрезвичайно важен для построения новой физики - физики, которая рассматривает материальные объекты и явления как разнообразные деформации структуры физического вакуума.
Но пойдем дальше. Важнейшей особенностью построенного нами идеального пространства (как и любого пространства) является его структурность. В структуру нашего пространства входят элементы двух видов: те, которые соответствуют узлам и те, которые соответствуют связям между ними, но вместе они образуют целостную структуру. Таким образом, рассматриваемое пространство одновременно и сплошное, непрерывное и дискретное - в смысле неоднородности. Такое пространство совпадает с известным нам множеством натуральных чисел, изображаемых точками числовой оси.
------*-------*-------*-------*- ...-*---- ...
1 2 3 4 n
Математика определяется как наука, которая изучает действительный мир со стороны пространственных форм и количественных отношений. В этом смысле математическая прямая представляет специфическую модель этого мира, т. к. является одновременно и простейшей пространственной формой и вместилищем количественных отношений. Но насколько адекватной является такая модель в контексте существования структурной организации мира? Ответ следующий: она существенно неадекватна, потому что изначально задана как бесструктурный, "сплошной" объект. И традиционный алгоритм построения числовых множеств совершенно не отражает принцип структурности мира.
Структурность (или системность) мира предполагает иерархичность его организации, иначе это не системность. Смысл иерархичности понятен - каждый объект рассматривается как элемент какой-то системы и в то же время как система, каждый элемент которой также является системой, каждый элемент которой, в свою очередь, рассматривается как система, каждый элемент которой и т. д. до неизвестного нам предела (или, скорее всего, осмысления отсутствия последнего).