Какой ход рассуждений в обосновании логики понятия числа с учетом структурности мира можно считать более корректным? Попробуем рассуждать следующим образом. Вернемся к пространству, которое мы построили. Основными объектами нашего внимания являются узлы этой одномерной сети - абстрагированные от конкретных свойств предметы счета, фрагменты условной нити лишь связывают их. Узлы, как мы уже оговорили, имеют внутреннюю структуру. Отразим этот момент графически.
=======-=======-=======-=======- ... -=======- ...
1 2 3 4 n
Узлы на этой прямой растянуты - что дает нам возможность дробить их на фрагменты и изображены жирными отрезками. Связи - тонкими, поэтому здесь они имеют вид своеобразных промежутков, щелей между узлами и носят второстепенный характер. Таким образом, мы получили те же два основных вида элементов, что и на традиционной прямой, но манипулируя с точками жирных отрезков, мы как бы тем самым манипулируем элементами систем (объектов счета), которые они изображают. Измерение различных величин, изображаемых отрезками, в этом контексте можно рассматривать как сравнение систем.
Итак, мы несколько видоизменили математическую прямую: мы растянули узлы, чтобы стала доступной для манипуляций их структура, постулировали изначальную структурность прямой, введя в ее состав элементы двух качественно различных видов (что совершенно не противоречит принципу структурности мира) и тем самым как бы построили новое пространство, элементы которого идентифицировали натуральными числами. Логика обоснования нашего натурального ряда не противоречит логике построения традиционной числовой оси.
В традиционном алгоритме построения числовых множеств после построения множества натуральных чисел следует введение отрицательных чисел и нуля и формирование нового числового множества - множества целых чисел. Но мы эту фазу детально рассматривать не будем, т. к. она не имеет сколько-нибудь существенного значения для достижения нашей цели. Понятно, что знак числа - это условность, которая зависит от выбора точки отсчета (нуля) на числовой оси и направления движения по этой оси (счета). Практическая иллюстрация этого следующая. Если некие предметы (аналоги которых узлы на числовой прямой, обозначенные числами 1, 2, 3, ... , n) составляют для кого-то прибыль и имеют положительное значение (знак "+"), то для кого-то они автоматически означают убыток - пусть не в коммерческом, но в математическом и физическом смысле, а значит, заклеймены знаком "-". Для наших целей достаточно положительной полуоси математической прямой.
Но пойдем дальше, или точнее - вглубь, к множеству рациональных чисел. Рациональные числа рассматривают как пополнение множества целых чисел рациональными дробями - конечными и бесконечными периодическими. Как нам известно, дроби возникли из необходимости измерять величины, не кратные выбранному эталону (на числовой оси - единичному отрезку). Процедура измерения заключается в сравнении измеряемого объекта с эталоном - другим объектом и обосновании вывода об их равенстве или неравенстве. Этот вывод зависит от того, что мы понимаем под равенством или неравенством объектов.
Какие-то представления о равенстве, полученные из жизненной практики, есть, пожалуй, у каждого. Если, например, мы совмещаем некие протяженные предметы и их пространственные границы (попросту говоря, концы) совпадают, то говорят, что длины этих предметов равны. Подобным образом мы можем сравнивать и плоские и объемные фигуры, веса... Принцип сравнения везде один и он заключается в сопоставлении сравниваемых объектов через сопоставление их элементов. Хоть при этом неизбежно приходится допускать равенство элементов - а это опять условность. Как этот процесс - процесс измерения, можно изобразить наглядно и как это делается традиционно?
Возьмем фрагмент числовой прямой, состоящих из нескольких отрезков, эквивалентных единичному.
*-------*-------*-------*-------*
0 1 2 3 4
*-------------------*
В соответствии с традиционными представлениями о числовой оси в любом ее месте мы можем обнаружить точку. Это означает, что какой бы отрезок прямой мы ни взяли, его пространственные границы (концы) будут представлены точками. Далее возьмем отрезок, который мы собираемся измерять и концы которого также ограничены точками. Теперь совместим эталонный и измеряемый отрезки. Если точки, обозначающие концы измеряемого отрезка и отрезка, кратного единичному на эталонном отрезке, совпадают, мы делаем вывод о равенстве этих отрезков. Но это, конечно, происходит не всегда, чаще всего пограничные точки эталона и сравниваемого отрезка не совпадают. Предположим, что он оказался короче и его правый конец находится где-то между точками 2 и 3 эталона. Следовательно, теперь необходимо измерить ту часть отрезка, которая не совпадает с эталоном. Для этого мы разделим каждый единичный отрезок эталона на равное число частей (традиционно на десять) и повторим операцию совмещения.
*----+----+----+----+----+----+----+----+----+----*
(2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3)
*-------------------------------------*
Если пограничный узел (конец) измеряемого отрезка совпадет с какой-то из дробных точек эталонного отрезка, то процесс измерения можно считать законченным, если нет - цикл дробления с последующим измерением повторяется уже на отрезке [7,8] и т. д. Утверждается, что возможны два варианта развития событий. Или в конце-концов на каком-то этапе дробления найдется точка, с которой совпадет граничный узел измеряемого отрезка - и тогда мы эту точку (абсциссу этой точки) идентифицируем как конечную рациональную дробь. Или же в какой-то момент мы приходим в точно такое же место малого отрезка (соотносительно с большим отрезком), с которого мы начинали дробление. Возникает вопрос: что это за место, какова его природа? Ведь если бы это была точка, процесс измерения можно было бы считать законченным, однако этого не происходит. Цикл дробления повторяется на ту же глубину шагов и все его фазы будут идентифицированы теми же числами. Пока опять мы не придем в такое же место соответствующего отрезка и т. д. и т. д. В этом случае говорят, что получена бесконечная периодическая дробь. Вот только совершенно неправильно причислять ее к множеству рациональных чисел - да и чисел вообще. Этот процесс не может называться числом - ведь точка прямой, соответствующая пограничному узлу данного отрезка, так и не найдена. Но если это не точка, то что же? Для того, чтобы найти если не ответ, то хотя бы путь к ответу, проведем эти же рассуждения, но применительно к новому пространству - тому, где узлы растянуты и изображены не точками, но жирными отрезками и отделены друг от друга структурными "щелями".
*=======*-*=======*-*=======*-*=======*
1 2 3 4
*----------------------------*
Главной особенностью предшествующих наших рассуждений была убежденность, что какой бы длины не оказался измеряемый отрезок, его граничная точка всегда в конце-концов совпадет с точкой - именно с точкой - числовой оси. Эта убежденность базируется на представлении о "сплошности" прямой. Но мы знаем, что прямая, понимаемая как структура (а она не может не быть структурой), содержит элементы двух видов, в системном контексте условно понимаемые как "узлы" и "связи" между ними. Тогда возникает вопрос: почему конец измеряемого отрезка непременно должен совпасть с точкой эталона, а не с промежутком между точками? С промежутком, "щелью", которая ведет в неизведанные глубины структуры - да, структуры модели, но в системном смысле адекватной модели мира. Может, то что мы считаем бесконечной периодической дробью и есть такой путь?
Сходным свойством обладает процесс, который математика определяет как иррациональное число. Иррациональные числа дополняют множество рациональных чисел до множества действительных чисел. Существуют разные способы построения этого числового множества. Один из них основан на использовании фундаментальной последовательности рациональных чисел. Множество всех действительных чисел в этом случае получается пополнением множества рациональных чисел новыми числовыми объектами, называемыми иррациональными числами, которые являются пределами всевозможных фундаментальных последовательностей рациональных чисел. По поводу этого определения можно сказать, что предел - это скорее процесс, чем число; процесс, уводящий нас в недра структуры. Проникнуть же в недра можно лишь по какому-то каналу. Единственной кандидатурой на роль такого канала является один из двух элементов, составляющих структуру пространства - промежутки между "узлами", они же "щели".
Второй способ получения иррациональных чисел (но первый исторически) осуществляется с помощью "поворота" диагонали единичного квадрата (описание этого способа приведено выше). Что можно сказать по поводу этого способа? Числовая ось - это конечный объект, замкнутый относительно преобразований (все результаты преобразований этого объекта должны принадлежать объекту). Но что в таком случае являет собой диагональ единичного квадрата? Ее можно рассматривать как единичный отрезок другой прямой, другого пространства, пересекающегося с первым. Но использование этого пространства опять же является произволом, т. к. никакого отношения к первому оно не имеет. И эти пространства действительно несоизмеримы - а почему они должны быть соизмеримы? Но из факта несоизмеримости никак не вытекает существование в структуре первого пространства (числовой оси) бесконечного количества каких-то специфических объектов, идентифицируемых как иррациональные числа.
Зададим вопрос: а существует ли (с учетом сказанного) реальная необходимость вводить какие-то особые числа, кроме натуральных? Традиционная математика утверждает, что числовая прямая бесконечна, но реально никто и никогда не использует всю бесконечную прямую: мы всегда работаем с какой-то ее конечной частью, по сути - с отрезком. В рамках этой же математики утверждается, что самая ничтожная часть прямой, самый малый ее отрезок, тоже бесконечны. Но если следовать этой же логике, то любой отрезок прямой мы можем рассматривать в качестве самостоятельной прямой, такой же, как и исходная (эквивалентность части целому). А любые две соседние точки такой прямой ничто не мешает рассматривать как концы единичного отрезка и обозначать числами натурального ряда. Отсюда можем сделать вывод, что некоторые построенные нами числовые множества носят, в общем-то, условный характер.