Нарисна геометрія (стр. 2 из 5)
Рисунок 1.11 – Визначення натуральної величини відрізка
На рисунку 1.12 (а та б) наведений приклад визначення натуральної величини відрізків та кутів нахилу їх до відповідних площин проекцій.
а) б)
Рисунок 1.12 – Визначення натуральної величини відрізка та кутів нахилу його до площин проекцій
3. Проекції площини
Існують шість способів завдання площини у просторі: трьома точками, які не належать одній прямій, прямою та точкою, яка не належить цій прямій, двома паралельними прямими, двома прямими, які перетинаються, геометричною фігурою (відтинання площини), слідами площини.
3.1 Способи завдання площини на комплексному кресленні
На комплексному кресленні площина може бути задана:
- проекціями трьох точок, які не належать одній прямій (рис. 1.13);
- проекціями прямої та точки, яка не належить цій прямій (рис. 1.14);
-
Рисунок 1.13 Рисунок 1.14
- проекціями двох паралельних прямих (рис. 1.15);
- проекціями двох прямих, які перетинаються (рис. 1.16);
-
Рисунок 1.15Рисунок 1.16
проекціями відтинання площини (рис. 1.17);
- слідами площини (рис. 1.18).
-
Рисунок 1.17 Рисунок 1.18
3.2 Положення площини відносно площини проекцій
Залежно від положення заданих площин відносно площин проекцій їх поділяють на площини загального положення та площини особливого положення.
Площинами загального положення називають площини, які не перпендикулярні до жодної з площин проекцій. Приклади площин загального положення наведені на рисунках 1.13 – 1.18.
Площини особливого положення поділяють на площини проеціювальні та площини рівня.
Якщо задана площина перпендикулярна до однієї з площин проекцій, то вона на неї проектується у вигляді відрізка. Такі площини називаються проеціювальними. Залежно від того, якій площині проекцій задані площини перпендикулярні, їх називають горизонтально – проеціювальними (рис. 1.19а), фронтально – проеціювальними (рис. 1.19б) та профільно-проеціювальними (рис. 1.19в).
а) б) в)
Рисунок 1.19 – Площини проеціювальні
Площини рівня – це площини, які перпендикулярні одночасно до двох площин проекцій, тобто паралельні третій площині проекцій, на яку вони проектуються у натуральну величину.
Залежно від того, якій площині проекцій задана площина паралельна, площини називають площинами горизонтального рівня (рис. 1.20а), фронтального рівня (рис. 1.20б) та профільного рівня (рис. 1.20в).
а) б) в)
Рисунок 1.20 – Площини рівня
3.3 Належність точки та прямої площині
1 Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, які їй належать (рис. 1.21а).
а) б)
Рисунок 1.21 – Належність прямої площині
2 Пряма належить площині, якщо вона проходить через точку, яка належить цій площині та паралельна прямій, яка знаходиться у площині (рис. 1.21б).
Точка належить площині, якщо вона знаходиться на прямій, належній площині. На рисунку 1.22а точка 1 належить площині трикутника АВС, оскільки точка належить стороні АВ трикутника АВС. На рисунку 1.22б точка 2 не належить площині трикутника АВС.
а) б)
Рисунок 1.22 – Належність точки прямій
3.4 Головні лінії площини
До прямих, які займають особливе положення, відносять горизонталі, фронталі, профільні прямі та прямі найбільшого нахилу до площин проекцій.
Горизонталями площини (h) називають прямі, які належать площині та паралельні горизонтальній площині проекцій. На рисунках 1.23а (площина задана прямою та точкою, яка не належить цій площині) та 1.23б (площина задана слідами) наведені приклади побудови горизонталей площин.
Побудову горизонталі починають з її фронтальної проекції (h2), оскільки вона паралельна осі Х12. Горизонтальну проекцію (h1) визначають по лініях проеційного зв’язку.
а) б)
Рисунок 1.23 – Побудова горизонталі площини
Фронталями площини (f) називають прямі, які належать площині та паралельні фронтальній площині проекцій. На рисунку 1.24а та б наведені приклади проведення фронталей площин, які задані різними способами.
Побудову фронталі починають з її горизонтальної проекції (f1), оскільки вона паралельна осі Х12, її фронтальну проекцію (f2) визначають по лініях проеційного зв’язку.
а) б)
Рисунок 1.24 – Побудова фронталі площини
Профільними прямими називають прямі, які належать площині та паралельні профільній площині проекцій.
Лініями найбільшого нахилу до площини проекцій називають прямі, які належать заданій площині та паралельні горизонталі, фронталі або профільній прямій. Лінії найбільшого нахилу до площин проекцій дають можливість визначати кути нахилу до відповідних площин проекцій.
4. Перетворення комплексного креслення
Аналізуючи положення прямих та площин стосовно площин проекцій зрозуміло що, лише у тому випадку, коли вони займають особливе положення (рисунки 1.8, 1.10, 1.20), на одній (або двох) площині проекцій матимемо натуральну величину. Якщо прямі чи площини займають загальне положення, натуральної величини бути не може. Для визначення натуральної величини розмірів площини чи відрізка існує кілька способів: заміна площин проекцій, обертання навколо проеціювальної осі, обертання навколо прямої рівня, плоскопаралельне переміщення.
Щоб визначити натуральну величину геометричного об’єкта, необхідно або змінити систему площин проекцій так, щоб об’єкт зайняв особливе положення, або розвернути сам об’єкт у просторі так, щоб він зайняв особливе положення стосовно існуючої системи площин проекцій.
4.1 Спосіб заміни площин проекцій
Суть способу полягає в тому, що положення геометричного об’єкта у просторі залишається незмінним, а одну з площин проекцій замінюють новою, яка створює з другою площиною проекцій нову систему взаємно перпендикулярних площин, відносно якої геометричний об’єкт займе особливе положення. Замін може бути декілька. Способом заміни площин можна розв’язувати багато позиційних та метричних задач нарисної геометрії.
Приклад 2 Визначити натуральну величину відрізка АВ.
Рисунок 1.25 – Визначення натуральної величини відрізка способом заміни площин проекцій
Для визначення натуральної величини відрізка необхідно ввести допоміжну площину проекцій П4, яка перпендикулярна до горизонтальної площини проекцій та паралельна відрізку АВ.
Площина П4 вводиться на будь – якій відстані від відрізка АВ. На комплексному кресленні достатньо провести нову вісь Х14 паралельно горизонтальній проекції відрізка АВ та з А1 та В1 провести лінії зв’язку, перпендикулярні до осі Х14, на яких відкласти віддалення від горизонтальної площини проекцій, які вимірюються на площині П2 (зроблені позначки однією та двома рисками). На рисунку 1.25 позначений кут нахилу (a) прямої АВ до горизонтальної площини проекцій – це буде кут між НВ прямої АВ та прямою паралельною осі Х14.
Щоб визначити кут нахилу прямої АВ до фронтальної площини проекцій, необхідно ввести площину, перпендикулярну до площини П2 та паралельну відрізку АВ.
Приклад 3 Визначити натуральну величину трикутника АВС (рис. 1.26).
Рисунок 1.26 – Визначення натуральної величини трикутника способом заміни площин проекцій
Для розв’язання задачі двічі виконують заміну площин проекцій.
Перша заміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у проеціювальну площину. Для цього необхідно нову вісь Х14 провести перпендикулярно до горизонтальної проекції горизонталі (h1) – це ознака того, що трикутник перпендикулярний до нової площини проекцій (П4), на яку він проектується у відрізок.
Друга заміна виконана таким чином, щоб трикутник перетворити у площину рівня. Для досягнення цього необхідно нову вісь Х45 провести паралельно відрізку, в який спроектувався трикутник АВС.
Відстані, які необхідно виміряти та відкласти від нових осей, позначені відповідними лініями.
4.2 Спосіб обертання навколо проеціювальної осі