Подобие фигур (стр. 2 из 3)
Рис. 7
Задача. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, пересекает его сторону АС в точке А1, а сторону ВС в точке В1. Докажите, что Δ ABC ~ ΔА1В1С.
Решение (рис. 7). У треугольников ABC и А1В1С угол при вершине С общий, а углы СА1В1и CAB равны как соответствующие углы параллельных АВ и А1В1с секущей АС. Следовательно, ΔАВС~ΔА1В1С по двум углам.
5. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
Теорема 3.Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и A1B1C1
C= C1 и АС=kА1С1, ВС=kВ1С1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.Подвергнем треугольник A1B1C1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 8).
При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то
С2= = С1. А значит, у треугольников ABC и А2В2С2 C= C2. Далее, A2C2 = kA1C1=AC, B2C2 = kB1C1=BC. Следовательно, треугольники ABC и А2В2С2равны по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними).Так как треугольники A1B1C1и А2В2С2гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1и ABC подобны. Теорема доказана.
Рис. 9
Задача . В треугольнике ABC с острым углом С проведены высоты АЕ и BD (рис. 9). Докажите, что ΔABC~ΔEDC.
Решение. У треугольников ABC и EDC угол при вершине С общий. Докажем пропорциональность сторон треугольников, прилежащих к этому углу. Имеем ЕС=AC cos γ, DC = ВС соsγ. То есть стороны, прилежащие к углу С, у треугольников пропорциональны. Значит, ΔАВС~ΔEDC по двум сторонам и углу между ними.
6. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
Теорема 4.Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство (аналогично доказательству теоремы 2). Пусть у треугольников ABC и А1В1С1 AB = kA1B1, AC = kA1C1, BC = kB1C1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.
Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 10). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, у треугольников соответствующие стороны равны:
A2В2 = kA1В1= АВ, A2C2 = kA1C1=AC, B2C2 = kB1C1=BC.
Следовательно, треугольники равны по третьему признаку (по трем сторонам).
Так как треугольники А1В1С1и А2В2С2гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники A2В2C2и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1и ABC подобны. Теорема доказана.
Рис. 10
Задача. Докажите, что у подобных треугольников периметры относятся как соответствующие стороны.
Решение. Пусть ABC и А1В1С1 — подобные треугольники. Тогда стороны треугольника А1В1С1пропорциональны сторонам треугольника ABC, т. е. А1В1 =kAB, B1C1 = kBC, A1C1=kAC. Складывая эти равенства почленно, получим:
A1B1+ B1C1+A1C1=k(AB+BC+AC).
Отсюда
т. е. периметры треугольников относятся как соответствующие стороны.
7. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
У прямоугольного треугольника один угол прямой. Поэтому по теореме 2 для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
С помощью этого признака подобия прямоугольных треугольников докажем некоторые соотношения в треугольниках.
Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла (рис. 11).
Треугольники ABC и CBD имеют общий угол при вершине В. Следовательно, они подобны: ΔABC~ΔCBD. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
Это соотношение обычно формулируют так: катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.
Прямоугольные треугольники ACD и CBD также подобны. У них равны острые углы при вершинах А и С. Из подобия этих треугольников следует пропорциональность их сторон:
Это соотношение обычно формулируют так: высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов I на гипотенузу.
Докажем следующее свойство биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.
Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рис. 12). Если треугольник ABC равнобедренный с основанием АВ, то указанное свойство биссектрисы очевидно, так как в этом случае биссектриса CD является и медианой.
Рассмотрим общий случай, когда АС≠ВС. Опустим перпендикуляры AF и BE из вершин А и В на прямую CD.
Прямоугольные треугольники ACF и ВСЕ подобны, так как у них равны острые углы при вершине С. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
Прямоугольные треугольники ADF и BDE тоже подобны. У них углы при вершине D равны как вертикальные. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:
Сравнивая это равенство с предыдущим, получим:
т. е. отрезки AD и BD пропорциональны сторонам АС и ВС, что и требовалось доказать.
8. УГЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ
Угол разбивает плоскость на две части. Каждая из частей называется плоским углом. На рисунке 13 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и Ь. Плоские углы с общими сторонами называются дополнительными.
Если плоский угол является частью полуплоскости, то его градусной мерой называется градусная мера обычного угла с теми же сторонами. Если плоский угол содержит полуплоскость, то его градусная мера принимается равной 360° - α, где α - градусная мера дополнительного плоского угла (рис. 14).
Рис. 13 Рис.14
Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу (рис. 15). Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.
Рис. 15 Рис. 16
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. Угол ВАС на рисунке 16 вписан в окружность. Его вершина А лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в точках В и С. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той из этих дуг, которая не содержит точку А, называется центральным углом, соответствующим данному вписанному углу.
Теорема 5. Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла.
Доказательство. Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности (рис. 17, а). Треугольник АОВ равнобедренный, так как у него стороны OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому углы A и В треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине О, то угол В треугольника равен половине угла АОС, что и требовалось доказать.
Рис. 17
Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD (рис. 17, б, в). В случае, представленном на рисунке 17, б, АВС=
CBD+ ABD= ½ COD + ½ АОD= ½ АОС.