В случае, представленном на рисунке 17, в,
ABC= CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.Теорема доказана полностью.
Из теоремы 5 следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 18). В частности, углы, опирающиеся на диаметр, прямые. |
9. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ ХОРД И СЕКУЩИХ ОКРУЖНОСТИ
Если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S
ТоAS·BS=CS·DS.
Докажем сначала, что треугольники ASD и CSB подобны (рис. 19). Вписанные углы DCB и DAB равны по следствию из теоремы 5. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из равенства указанных углов следует, что треугольники ASZ и CSB подобны.
Из подобия треугольников следует пропорция
Отсюда
AS·BS = CS·DS, что и требовалось доказать
Рис.19 Рис.20
Если из точки Р к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то
AP·BP=CP·DP.
Пусть точки А и С — ближайшие к точке Р точки пересечения секущих с окружностью (рис. 20). Треугольники PAD и РСВ подобны. У них угол при вершине Р общий, а углы при вершинах В и D равны по свойству углов, вписанных в окружность. Из подобия треугольников следует пропорция
Отсюда PA·PB=PC·PD, что и требовалось доказать.
10. Задачи на тему «Подобие фигур»