Подобие фигур (стр. 1 из 3)
РЕФЕРАТ
На тему: «Подобие фигур»
Выполнила:
ученица
Проверила:
Содержание
1. Преобразование подобия
2. Свойства преобразования подобия
3. Подобие фигур
4. Признак подобия треугольников по двум углам
5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
6. Признак подобия треугольников по трем сторонам
7. Подобие прямоугольных треугольников
8. Углы, вписанные в окружность
9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности
10. Задачи на тему «Подобие фигур»
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры Fв фигуру F'называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Yфигуры Fпри преобразовании подобия переходят в точки X', Y'фигуры F',то X'Y' = k-XY, причем число k— одно и то же для всех точек X, Y. Число kназывается коэффициентом подобия. При k = lпреобразование подобия, очевидно, является движением.
Рис.1
Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k·OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.
Теорема 1.Гомотетия есть преобразование подобия
Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y- две произвольные точки фигуры (рис.3)
Рис.3 Рис.4
При гомотетии точки X и Y переходят в точки X' и Y' на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k·OX, OY' = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = kOX, OY' = kOY. 
Вычитая эти равенства почленно, получим: OY'-OX' = k (OY- OX). 
Так как OY' - OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х'Y' = kХY. Значит, /X'Y'/=k /XY/, т.e. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.
Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).
Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.
2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ
Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А1, В1, С1, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В1 лежит между точками А1 и С1. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.
Рис. 5
Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А1В1С1(рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А2и С2. Треугольники А2ВС2и А1В1С1равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А2ВС2и А1В1С1. Значит, углы ABC и А1В1С1 равны, что и требовалось доказать.
3. ПОДОБИЕ ФИГУР
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур используется специальный значок: ∞. Запись F∞F' читается так: «Фигура F подобна фигуре F'».
Докажем, что если фигура F1 подобна фигуре F2, а фигура F2 подобна фигуре F3, то фигуры F1 и F3подобны.
Пусть Х1и Y1— две произвольные точки фигуры F1. Преобразование подобия, переводящее фигуру F1в F2, переводит эти точки в точки Х2, Y2, для которых X2Y2 = k1X1Y1.
Преобразование подобия, переводящее фигуру F2в F3, переводит точки Х2, Y2в точки Х3, Y3, для которых X3Y3 = - k2X2Y2.
Из равенств
X2Y2=kX1Y1, X3Y3 = k2X2Y2
следует, что X3Y3 - k1k2X1Y1. А это значит, что преобразование фигуры F1в F3, получающееся при последовательном выполнении двух преобразований подобия, есть подобие. Следовательно, фигуры F1и F3подобны, что и требовалось доказать.
В записи подобия треугольников: ΔABC∞ΔA1B1C1 — предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в А1, В - в B1и С - в С1.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треугольников ABC и А1В1С1
A=
А1, В= В1, С= С1 
4. ПРИЗНАК ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВУМ УГЛАМ
Теорема 2. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть у треугольников ABC и A1B1C1
А= А1, B= B1. Докажем, что ΔАВС~ΔА1В1С1.Пусть
. Подвергнем треугольник А1В1С1 преобразованию подобия с коэффициентом подобия k, например гомотетии (рис. 6). При этом получим некоторый треугольник А2В2С2, равный треугольнику ABC. Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы, то A2= А1, B2= B1. А значит, у треугольников ABC и А2В2С2 A = A2, B= B2. Далее, A2B2 = kA1B1=AB. Следовательно, треугольники ABC и А2В2С2равны по второму признаку (по стороне и прилежащим к ней углам). 
Так как треугольники А1В1С1и А2В2С2 гомотетичны и, значит, подобны, а треугольники А2В2С2и ABC равны и поэтому тоже подобны, то треугольники А1В1С1и ABC подобны. Теорема доказана.