Поиски более рационального способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки (стр. 3 из 4)

В простейших случаях при решении систем уравнений второй степени удаётся выразить одно неизвестное через другое и подставить это выражение во второе уравнение.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных.

Пример. Среди решений (x; y) системы найти то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.

2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 - 2x. Подставляя значение y во второе уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 - 2x,

7x- 2x² = 6.

Квадратное уравнение - 2x² + 7x- 6 = 0 имеет корни X1 = 2; X2 = 3/2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2;3) и (1,5;4). Наибольшая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Метод введения новых неизвестных при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратных уравнений мы вводили новые неизвестные (у = х² для биквадратных уравнений и у = х + 1/х для возвратных уравнений). Введение новых неизвестных применяется также при решении уравнений иного вида и систем уравнений.

Пример Решим уравнение 12/ (х² + 2х) - 3/ (х² + 2х - 2) = 1.

Решение. Если попробовать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать.

Чтобы решить заданное уравнение, заметим, что в обе дроби входит одно и то же выражение х² + 2х. Поэтому введём новое неизвестное у, положив, что у = х² + 2х. Тогда уравнение примет вид

12/у - 3/ (у - 2) = 1 или (у² - 11у + 24) / (у (у - 2)) = 0,откуда y₁ = 3; y₂ = 8. Осталось решить уравнения х² + 2х = 3 (его корни х₁ = 1, х₂ = -3) и х² + 2х = 8 (его корни х₃ = 2, х₄ = -4).

Применённый метод называется методом введения новых неизвестных, и его полезно применять, когда неизвестное входит в уравнение всюду в виде одной и той же комбинации (особенно если эта комбинация содержит степени неизвестного выше первой).

Пример. Решим систему уравнений

2/х + 3/у = 8,5

/х - 2/у = 1.

Решение.

Обозначим 1/х через U, а 1/у через V.

Тогда система примет вид

2U + 3V = 8,5

U- 2V = 1,

т.е. получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во второе: 5 (4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Теперь находим U = 1 и решаем уравнения 1/x = 1, 1/y = 2.

Ответ: x = 1, y = 0,5.

Однородные уравнения.

Пример Решим систему уравнений

8х²- 6ху + у2 = 0,

х² + у² = 5.

Решение. заметим, что для решения системы выполняется условие у ¹ 0. В самом деле, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на у².

Получится уравнение

8х^2/у²- 6ху / у² + у^2/у² = 0 или

8х^2/у²- 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неизвестное U = х / у.

Уравнение примет вид

8U²- 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корни U₁ = 0,5; U₂ = 0,25. Таким образом, из первого уравнения мы получаем что либо x / y = 1/2, либо x / y = 1/4. Осталось подставить выражения у =2х и у = 4х (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получается уравнение 5х² = 5, откуда х₁ = 1, х₂ = - 1; соответственно у₁ = 2, у₂ = - 2.

Во втором случае получается уравнение17х² = 5, откуда х₃ = Ö (5/17), x₄ = -Ö (5/17); соответственно y₃ = 4Ö (5/17), y₄ = - 4Ö (5 /17).

Первое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x², 6xy, y²), одна и та же - она равна двум. Поэтому после деления на y² каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от двух переменных x и y такой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, называется однородным многочленом степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 называется однородным уравнением степени kотносительно x и y, если P (x, y) - однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на y^{k (}если y = 0 не является корнем уравнения) превращается в уравнение относительно неизвестного x / y. Это свойство однородного уравнения помогает решать многие задачи.

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) называется симметрическим, если P (x, y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида

P₁ (x, y) = 0,

P₂ (x, y) = 0,

где P₁ (x, y) и P₂ (x, y) - симметрические многочлены, полезной оказывается такая замена неизвестных: x + y = U, xy = V. Напомним, что любой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример Решить систему уравнений

x² + xy + y² = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что:

x² + xy + y² = x² + 2xy + y²-x

y = (x + y) ²-xy.

Сделаем замену неизвестных: x + y = U, xy =V.

Система примет вид:

U²-V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U² + U- 72 = 0 с корнями U₁ = 8,U₂ = -9. Соответственно V₁ = 15, V₂ = 32. Остаётся решить системы уравнений:

x + y = 8,xy = 15,

x + y = -9,xy = 32.

Система x + y = 8, имеет решения:

x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5,

y₂ = 3.xy = 15.

Система x + y = - 9, действительных решений не имеет. Ответ: x₁ = 3, y₁ = 5; x₂ = 5, y₂ = 3.

Глава 2. Методика исследования данной работы

Методика исследовании.

Моя основная цель, найти более рациональный способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - методом подстановки.

Поэтому я решил использовать метод “Искусство", т.е. решать примеры нестандартно, придумать “свой метод", догадаться что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.

При решении систем уравнений второй степени часто используется также способ замены переменных - его я тоже решил применить.

Итак, для решения проблемы я решил использовать два методы решений:

1. метод "Искусство" - "свой метод"

2. метод замены переменных

Этапы исследования.

Основными методами решения систем являются метод подстановки и метод введения новых переменных.

Предлагается симметрическая система уравнений; стабильная замена переменных

Решение задач:

Старинная задача.

Три сестры пришли на рынок с цыплятами. Одна принесла для продажи 10 цыплят, другая 16, третья 26. До полудня они продали часть своих цыплят по одной и той же цене. После полудня опасаясь,, что не все цыплята будут проданы, они понизили цену и распродали оставшихся цыплят снова по одинаковой цене. Домой все трое вернулись с одинаковой выручкой: каждая сестра получила от продаж 35 рублей.

По какой цене продали они цыплят до и после полудня?

Решение

Обозначим число цыплят проданных каждой сестрой до полудня, через х, у, z. Во вторую половину дня они продали 10 - х, 16 - у, 26 - z. Цену до полудня обозначим через m, после полудня - через n. Для ясности сопоставим эти обозначения.

Число проданных цыплят				цена
До полудняПосле полудня	Х10 - х	У16 - у	Z26 - z	mn

Первая сестра выручила: m х + n (10 - х) следовательно, m х + n (10 - х) = 35, вторая: m у + n (16 - у) следовательно, m у + n (16 - у) =35, третья: mz+ n (26 - z) следовательно, mz+ n (26 - z) =35

Преобразуем эти три уравнения:

m х + n (10 - х) = 35 (m- n) х +10 n =35

m у + n (16 - у) =35 ( m- n) у +16 n =35

mz+ n (26 - z) =35 (m- n) z+26 n =35

Вычтя из третьего уравнения первое, затем второе, получим:

(m- n) (z - х) +16 n =0 (m- n) (z - х) =16 n

(m- n) (z - у) +10 n =0 или (m- n) (z - у) =10 n

Делим первое из этих уравнений на второе

х - z8 х - zу - z

у - z= 5 или 8 = 5

так как х, у, z. - целые числа, то и у - z, х - z - тоже целые числа. Поэтому для существования равенства

х - zу – z, 8 = 5

необходимо, чтобы х - z делилось на 5, а у - zна 5. следовательно:

х - zу – z, 8 = t = 5

откуда х = z+ 8 tу = z +5 t

Число t - не только целое, но и положительное, т.к х > z (в противном случае первая сестра не смогла бы выручить столько же, сколько третья).

Так как х <10, то z + 8 t < 10.

При целых и положительных z и t последнее неравенство удовлетворяет только в одном случае; когда z= 1 и t =1. Подставив эти значения в уравнения х = z+ 8 tу = z +5 tнаходим х = 9, у = 6

Вернемся к уравнениям:

m х + n (10 - х) = 35

m у + n (16 - у) =35

mz+ n (26 - z) =35

подставив в них найденные значения х, у, z., узнаем цены, по каким продавались цыплята. m= 3,75 рублей n - = 1,25 рублей