Полное исследование функций и построение их графиков (стр. 2 из 3)

Еще одной характеристикой графика функции, которую можно определять с помощью производной, является его выпуклость или вогнутость.

Определение 3.1. Функция

называется выпуклой на промежутке

, если ее график расположен ниже любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке, и наоборот, называется вогнутой, если ее график окажется выше любой касательной, проведенной к нему на данном промежутке.

Докажем теорему, позволяющую определять интервалы выпуклости и вогнутости функции.

Теорема 3.1. Если во всех точках интервала

вторая производная функции

непрерывна и отрицательна, то функция

выпукла и наоборот, если вторая производная непрерывна и положительна, то функция вогнута.

Доказательство проведем для интервала выпуклости функции. Возьмем произвольную точку

и проведем в этой точке касательную к графику функции (рис. 3.1). Теорема будет доказана, если будет показано, что все точки кривой на промежутке лежат под этой касательной. Иначе говоря, необходимо доказать, что для одних и тех же значений ординаты кривой меньше, чем ординаты касательной, проведенной к ней в точке .

Рис. 3.1

Для определенности обозначим уравнение кривой:

, а уравнение касательной к ней в точке : или . Составим разность и :

.

Применим к разности

теорему о среднем Лагранжа (п. 14.2):

,

где

.

Применим теперь теорему Лагранжа к выражению в квадратных скобках:

,

где

. В нашем случае, как видно из рисунка, , тогда и . Кроме того, по условию теоремы, . Перемножая эти три множителя, получим, что , что и требовалось доказать.

Определение 3.2. Точка, отделяющая интервал выпуклости от интервала вогнутости, называется точкой перегиба.

Из определения 3.1 следует, что в данной точке касательная пересекает кривую, то есть с одной стороны кривая расположена ниже касательной, а с другой – выше.

Теорема 3.2. Если в точке

вторая производная функции

равна нулю или не существует, а при переходе через точку

знак второй производной меняется на противоположный, то данная точка является точкой перегиба.

Доказательство данной теоремы следует из того, что знаки

по разные стороны от точки различны. Значит, с одной стороны от точки функция выпукла, а с другой – вогнута. В этом случае, согласно определению 3.2, точка является точкой перегиба.

Исследование функции на выпуклость и вогнутость проводится по той же схеме, что и исследование на экстремум.

4. Асимптоты функции

В предыдущих пунктах были рассмотрены методы исследования поведения функции с помощью производной. Однако среди вопросов, касающихся полного исследования функции, есть и такие, которые с производной не связаны.

Так, например, необходимо знать, как ведет себя функция при бесконечном удалении точки ее графика от начала координат. Такая проблема может возникнуть в двух случаях: когда аргумент функции уходит на бесконечность и когда при разрыве второго рода в конечной точке уходит на бесконечность сама функция. В обоих этих случаях может возникнуть ситуация, когда функция будет стремиться к некоторой прямой, называемой ее асимптотой.

Определение. Асимптотой графика функции

называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от графика до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают два типа асимптот: вертикальные и наклонные.

К вертикальным асимптотам относятся прямые линии

, которые обладают тем свойством, что график функции в их окрестности уходит на бесконечность, то есть, выполняется условие: . Очевидно, что здесь удовлетворяется требование указанного определения: расстояние от графика кривой до прямой стремится к нулю, а сама кривая при этом уходит на бесконечность. С таким поведением функций мы сталкивались в п. 11.1, когда речь шла о разрывах второго рода. Итак, в точках разрыва второго рода функции имеют вертикальные асимптоты, например, в точке . Следовательно, определение вертикальных асимптот функции совпадает с нахождением точек разрыва второго рода.

Наклонные асимптоты описываются общим уравнением прямой линии на плоскости, то есть

. Значит, в отличие от вертикальных асимптот, здесь необходимо определить числа и .

Итак, пусть кривая

имеет наклонную асимптоту, то есть при точки кривой сколь угодно близко подходят к прямой (рис. 4.1). Пусть – точка, расположенная на кривой. Ее расстояние от асимптоты будет характеризоваться длиной перпендикуляра . Согласно определению, . Но вычисляется довольно сложно, гораздо проще найти .

Из треугольника

следует, что , так как . Значит, . Итак, .

Но выше было сказано, что

, откуда следует, что . Вынесем в данном выражении за скобки: . Так как по условию , то . Здесь , следовательно, , откуда получаем: