Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (стр. 2 из 5)

Покажем, что любое равенство

получается из , где . Заметим, что , так как а – корень , а – минимальный многочлен для a. Представим , где составлен из положительных одночленов многочлена h, а ‑ составлен из отрицательных одночленов многочлена h, взятых с противоположным знаком. Таким образом,

Приведем подобные члены в паре

, и найдем такой , что

,

не имеют подобных членов.

Аналогично найдем

, что

и

не имеют подобных членов.

Получаем

Так как

не имеют подобных членов и не имеют подобных членов, то

, или

, .

Найдем значения этих многочленов в точке а.

, .

Итак,

,

.

То есть,

тогда и только тогда, когда .

Будем говорить, что Q⁺(a) порождается минимальным соотношением

.

Глава 2. Однопорожденные полуполя

2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел

Для простого расширения

справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.1.1. Пусть

простое расширение

, a– алгебраический элемент над

. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1)

– поле;

(2)

;

(3)

;

(4)

;

(5)

.

Доказательство.

· (1)®(2): Пусть

– поле. Так как - простое расширение поля Q элементом a. То . Однако, . Таким образом, .

· (2)®(3): Заметим, что достаточно показать, что

.

Пусть его нет, тогда покажем, что никакой ненулевой элемент

не будет обратим. Рассмотрим

и

,

тогда

.

По предположению, этот многочлен – тождественный ноль. А значит.

. Так как , то . То есть, оба многочлена – нулевые. Мы же брали ненулевой многочлен b. Это показывает справедливость (3).

· (3)®(4): Пусть

, тогда . Так как (f – g)(a) = 0, то h(a) = 0.

· (4)®(5): Пусть

, покажем, что .

Так как h(a)=0, то

. Покажем, что . Рассмотрим

.

Если b₀≠0, то

.

Если h₀=0, то

.

Так как a≠0, то

.

Тогда

.

Итак,

.

· (5)®(1): Пусть

, покажем, что Q⁺(a) – поле. Действительно, мы знаем, что Q⁺(a) – полуполе. Рассмотрим bÎQ⁺(a), тогда . b + (‑b)=0. То есть, Q⁺(a) – поле.

Итак, мы показали, что все утверждения равносильны. ■

Доказанный факт влечет следующую теорему.

Теорема 2.1.2. Пусть Q⁺(a) простое расширение Q⁺, a – алгебраический элемент над Q⁺. Тогда эквивалентны следующие утверждения:

(1)Q⁺(a) –полуполе;

(2)

;

(3)

;

(4)

;

(5)

.

Доказательство. Несложно установить равносильность утверждений (1) ‑ (4), исходя из предыдущей теоремы. Докажем условие равносильность их утверждению (5).

Из условия (5) следует, что никакой элемент не обратим по сложению. Тогда Q⁺(a) не является полем, а значит Q⁺(a) – полуполе. Докажем, что из (3) следует (5). Действительно, согласно условию (3),

("hÎQ⁺[a],h≠0) h(a)≠0.

То есть, если h(a)=0, то h=0. Пустьh(a)=(x+y)(a)=0. Тогда

.

Тогда (x_i+y_i)=0.

Так как x_iÎQ⁺ и y_iÎQ⁺, то x_i=y_i=0. А значит, x=y=0.

Теорема доказана.

■

2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом

Теорема 2.2.1.Любое расширение

, где

, является полем С.