Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (стр. 3 из 5)
Доказательство. Пусть
, 
и при a > 0. Тогда 
находится строго в первой или четвертой четверти комплексной плоскости.Очевидно, существует натуральное n, что
лежит строго во второй или третьей четверти. То есть, 
, где c < 0, 
. Значит, 
и 
. По теореме 2.1.1, 
– поле. Очевидно, что 
. То есть, является полем С.Аналогично рассматривается случай
■2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом
Теорема 2.3.1.Если 
, то
– поле тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – поле.Доказательство. По теореме 2.1.1 Q+(ai) – поле равносильно существованию
f¹0, f(ai)=0.
Так как все степени aiÎQ+(ai). Рассмотрим некоторый многочлен
.Равенство выполняется тогда и только тогда, когда действительная и мнимая часть равны нулю.
То есть,
Это верно тогда и только тогда, когда Q+(-a2) – поле.
Получили, чтоQ+(ai) – поле тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – поле. ■
Как следствие получаем более ценные утверждения.
Следствие 1.Если , тоQ+(ai) – полуполе тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – полуполе.
Следствие 2. Если 
и Q+(-b2) – полуполе, aÎQ+(-b2), то Q+(a + bi) – полуполе.
Теорема 2.3.2. Пусть – комплексный корень квадратного трехчлена f(x) неприводимого над Q. Тогда 
– полуполе в том и только том случае, когда f(x) имеет положительный действительный корень.
Доказательство. Пусть
удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней. Тогда 
, где D – дискриминант минимального соотношения.Рассмотрим минимальный многочлен, соответствующий данному минимальному значению. Он имеет вид
. Если b, c≥ 0, то имеем многочлен из 
. Пусть многочлен имеет два отрицательных корня, тогда 
, 
. То есть 
. Если многочлен не имеет действительных корней, 
то 
(*)То есть,
.Рассмотрим
.При
получаем многочлен из Q+[x]. Пусть 
. Введем обозначения: 
, 
, 
, 
, 
, 
.Тогда многочлен примет вид
. Умножим его на 
, получим многочлен 
. Если 
, то это искомый многочлен иначе умножим его на 
.Докажем, что, проделав такую операцию достаточно большое количество раз, мы получим многочлен из Q+. Докажем, что найдется такие k, что
. При этом 
. Для начала найдем дискриминант уравнения 
. 
То есть, дискриминант Dl+1 имеет тот же знак, что и Dl. Так как D0<0, то пользуясь методом математической индукции заключаем, что любой дискриминант Dl<0.
Рассмотрим неравенство
, подставим 
, 
. Получим 
.То есть,
.Зная, что
заметим 
.Итак, для доказательства нам достаточно установить, что
.То есть,
.Пусть аналогичными рассуждениями мы установили, что нам достаточно доказать неравенство
.Тогда
.Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что
.Используя оценку
и деля на положительный элемент 
, получаем 
.Обозначим
. Рассмотрим отображение 
, заданное по правилу 
. При 
, 
. Отображение является сжимающим. Оно имеет единственную неподвижную точку. Найдем ее: 
. Откуда 
. Заметим, что 
. Последовательность 
стремится к 4. То есть, нам достаточно установить, что 
, а это следует из (*). Итак, мы доказали, что 
. То есть, мы нашли такой многочлен, 
, что 
. Итак, мы доказали, что если удовлетворяет минимальному соотношению, являющемуся квадратным уравнением без положительных корней, то – поле. ■