Таким образом, доказано существование

■
Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень
, такой что
и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов. Доказательство. Пусть многочлен f-g не имеет положительных действительных корней, и для всех корней вида

, где
, последовательность (**), заданная числами
p и
q, содержит отрицательный элемент. Тогда, по теореме 2.3.5, для каждого множителя вида

существует многочлен

, что

. Рассмотрим многочлен

.

так как

и

. Кроме того

, а остальные множители многочлена

имеют вид

или

. То есть,

. Таким образом

. По теореме 2.1.1, минимальный многочлен

порождает поле. ■
Теорема 2.3.7.Для комплексных чисел
расширение
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем. Доказательство. Пусть a' – положительный корень минимального соотношения. Предположим, что

– поле. Тогда существует многочлен
fс положительными коэффициентами, делящийся на минимальный многочлен. Значит
f(
a')=0. Но

. Значит
a' – не является корнем многочлена
f. То есть

– полуполе. ■
1. Рассмотрим

. Оно удовлетворяет минимальному соотношению

. По теореме 2.3.7,

- полуполе. Аналогично доказывается, что

– полуполе.
2.

– полуполе. Для доказательства нужно воспользоваться теоремой 2.3.1.
3. Покажем, что

– полуполе. Во-первых, заметим, что

. Рассмотрим

. По теореме 2.3.7,

‑ полуполе. Тогда, по теореме 2.3.1,

– полуполе.

. То есть,

– полуполе.
4.

, минимальное соотношение которого имеет вид

, есть полуполе. Действительно, многочлен

имеет положительный корень, а значит

- полуполе.
Теперь приведем примеры полей.
5.

является полем, потому что его минимальный многочлен имеет вид

.
6. Пусть

удовлетворяет минимальному соотношению

. Его минимальный многочлен

делит

. То есть,

– поле. Несложно видеть, что

. Итак,

.
7. Пусть

удовлетворяет минимальному соотношению

. Тогда

– поле.
8. Пусть

, если

, то

– поле. Так как

, то

Если

, то

. Рассмотрим последовательность (**), порожденную
pи
q.

. По теореме 2.3.7,

– поле.
1. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. – Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000
2. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2001, вып. 3. – Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. – С. 11-20.
3. Ряттель А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. – 2002, вып. 4.– Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. – С. 39-45.