Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа (стр. 1 из 5)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Полуполя, являющиеся простыми расширениями с помощью комплексного числа
Выполнил
студент 5 курса
математического факультета
Чупраков Дмитрий Вячеславович
_____________________/подпись/
Научный руководитель:
д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
_____________________/подпись/
Рецензент:
к.ф-м.н., доцент В.В. Чермных
_____________________/подпись/
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой ______________________д.ф-м.н., профессор Е.М. Вечтомов
(подпись) “__” _________
Декан факультета _____________________к.ф-м.н., доцент В.И. Варанкина
(подпись) “__” _________
Киров
2005
Содержание
Содержание. 2
Введение. 3
Глава 1. 5
1.1. Базовые понятия и факты.. 5
1.2. Простое расширение Q+(a) 5
1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел. 7
Глава 2. Однопорожденные полуполя. 9
2.1. Структура простого расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел. 9
2.2. Расширения полуполя неотрицательных действительных чисел комплексным числом. 11
2.3. Расширения полуполя неотрицательных рациональных чисел комплексным числом. 12
2.4. Примеры.. 20
Литература. 22
Введение
Теория полуполей – одно из интенсивно развивающихся разделов общей алгебры, являющейся обобщением теории полей. Одним из основных способов исследования полей является построение их расширений. Поэтому естественно исследовать расширения полуполей. Эта проблема освещена в статье А.В.Ряттель [3] и диссертации И.И.Богданова. Но в них рассматриваются случаи упорядочиваемых расширений. Интересно рассмотреть неупорядочиваемые расширения. Этому вопросу посвящена данная квалификационная работа
Целью квалификационной работы является исследование однопорожденных расширений полуполей неотрицательных рациональных чисел и неотрицателных действительных чисел комплексным числом на предмет выявления признаков и свойств, позволяющих упростить поиск расширений, являющихся полуполями.
Выпускная квалификационная работа состоит из двух глав. В главе 1 представлены предварительные сведения, необходимые для изучения однопорожденных расширений полуполей. Глава 2 посвящена исследованию однопорожденных расширений полуполей.
В работе принята сквозная тройная нумерация теорем и лемм, где первое число – номер главы, второе – номер параграфа, третье – номер в параграфе. Например, теорема 2.1.1 – первая теорема первого параграфа второй главы.
Основными результатами работы являются:
· Теорема 2.2.1.Любое расширение 
, где 
, является полем С.
· Теорема 2.3.1.Если 
, то
– поле тогда и только тогда, когдаQ+(-a2) – поле, позволяющая выявлять полуполя вида 
.· Теорема 2.3.6. Если минимальный многочлен f-g порождает полуполе то, он либо имеет положительный действительный корень, либо корень 
, такой что 
и последовательность (**), заданная числами p и q, не содержит отрицательных элементов.
Последовательность
задается следующим образом: 
Эта теорема помогает сократить область поиска расширений, являющихся полуполями.
· Теорема 2.3.7.Для комплексных чисел 
расширение 
, минимальное соотношение которого имеет положительный корень, является полуполем.
Глава 1.
1.1. Базовые понятия и факты
Определение: Алгебра <P, +, ×> называется полуполем, если
(1) <Р, +> – коммутативная полугруппа с 0;
(2) <Р, ×> – группа с 1;
(3) Дистрибутивность
a.
b.
(4)
Не сложно показать, что Q+ является полуполем.
Определение: Пусть Р – подполуполе полуполя F,
, тогда простым расширением полуполя Pс помощью элемента a называется наименьшее подполуполе полуполя F, содержащее множество Pи элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается P(a).1.2. Простое расширение Q+(a)
Теорема 1.2.1. Произвольное полутело либо аддитивно идемпотентно, либо содержит копию Q+ в качестве полутела.
Доказательство. Предположим, что S – неидемпотентное полутело, т.е. найдется такой ненулевой элемент sÎS, что s+s¹s. Откуда
.
Рассмотрим суммы единиц. Через
обозначим сумму k единиц (при kÎN). Так как любое полутело является антикольцом, то 
. Покажем, что суммы различного числа единиц в Sразличны. Допустим от противного, что 
при некоторых натуральных m<n. Положим l=n-mÎN. Тогда 
. Прибавляя к обеим частям этого равенства элемент 
, получим 
.Применяя эту процедуру несколько раз, будем иметь
для любого tÎN.По свойству Архимеда, найдется такое tÎN, что tl>n. При k=tlимеем
и n<k. Тогда 
.Откуда 1=1+1 (
). Получили противоречие.Следовательно, полутело Sсодержит аддитивную копию N. Но тогда S содержит и частные сумм 1, т.е. содержит копию полуполя Q+, причем, очевидно, операции в Q+ и S согласованы.
■
Теорема1.2.2.
- простое расширение полуполя Q+.Доказательство. Заметим, что Q+(a) – полуполе. Кроме того, а Î Q+(a). Это не сложно увидеть, взяв
. Очевидно 
.Предположим, что есть полуполе PменьшееQ+(a), содержащее а и Q+. Тогда оно содержит все выражения вида
. Так как P– полуполе, то 
. Таким образом, 
. Так как P – минимальное полуполе, то 
. То есть, 
–простое расширение полуполя Q+.■
Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема1.2.3.
- простое расширение поля Q.1.3. Минимальное соотношение алгебраического элемента над полуполем рациональных неотрицательных чисел
Пусть а – алгебраическое число. Тогда минимальный многочлен F числа а имеет степень ≥ 1. Тогда обозначим через fмногочлен, составленный из положительных одночленов многочлена F, а многочлен g составим из отрицательных членов, взятых с противоположными знаками. Тогда
. 
, тогда 
.