Полурешетки m-степеней (стр. 1 из 4)

Содержание

Введение

Теоретическая часть

§1 Основные определения

§2 Простейшие свойства m – степеней

§3 Минимальные элементы верхней полурешетки m-степеней

2. Практическая часть

§1. Идеалы полурешетки m-степеней частично рекурсивных функций

Литература

Введение

Сейчас много внимания уделяется вопросам сводимости функций. Данная работа посвящена одной из разновидностей сводимости частично рекурсивной функции, а именно m-сводимости.

Для дальнейшего рассмотрения этого вопроса будем пользоваться общепринятыми понятиями и теоретико-множественными обозначениями.

Символы логических операций: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, и эквивалентности будем обозначать:

, соответственно.

Кванторы общности и существования обозначают

соответственно.

Совокупность всех целых неотрицательных чисел обозначим через N.

Под множеством будем понимать подмножество N.

Латинскими буквами A,B,C,… будем обозначать множества.

Объединение множества A и B обозначим через

пересечения этих множеств - а разность , дополнение - .

Пусть

₁* ₂*…* _{n 1}, ₂,…, n

₁

₁, ₂

₂,…, n

n

-декартово произведение множеств ₁, ₂,…, _n.

Определение: Функции

называется арифметической, если ее аргументы пробегают натуральный ряд N, и сама функция принимает лишь натуральные значения.

Под n-местной

частичной арифметической функцией будем понимать функцию, отображающую некоторое множество в N ,где -n-ая декартовая степень множества N.

Греческими строчными буквами будем обозначать частично рекурсивные функции (ЧРФ) :

.

Всякий раз, когда число аргументов явно не указывается, речь идет об одноместных функциях. Обозначим через

множество всех одноместных ЧРФ.

Запись

означает, что функция для этой n-ки не определена, а запись означает, что функция для этой n-ки определена.

Множество

называют областью значений функции , а множество область определения функции .

Определение: Частичную n-местную функцию

назовем всюду определенной, если .

Всюду определенная функция будет обозначаться латинскими буквами: f,g,h,… . [5,6]

Теоретическая часть

§1 Основные определения

Определение 1: (интуитивное).

Арифметическая функция называется частично рекурсивной, если существует алгоритм для нахождения ее значений.

Определение 2:

Под начальными функциями будем понимать следующие функции:

1.функция следования S

;

2.функции выбора

,

3.

4.нулевая функция

.

Определение 3: (оператор суперпозиции (подстановка)).

Говорят, что функция

получена суперпозицией из функций и , если для всех значений выполняется равенство:

Определение 4: (оператор примитивной рекурсии ).

Говорят, что функция

получена из двух функций и с помощью оператора примитивной рекурсии, если имеют место следующие равенства:

.

Это определение применимо и при n=0. Говорят, что функция

получена из одноместной функции константы равной и функции , если при всех :

Определение 5: (

-оператор или оператор минимизации).

Определим

-оператор сначала для одноместных функций.

Будем говорить, что функция

получена из частичной функции с помощью оператора, если,

_.

В этом случае

-оператор называется оператором обращения и -наименьшее .

Теперь определим

-оператор в общем виде:

Определение 6:

Функция

называется частично рекурсивной функцией (ЧРФ) ,если она может быть получена из начальных функций с помощью конечного числа применений трех операторов: суперпозиции, примитивной рекурсии, -оператора.

Определение 7:

Если

- ЧРФ и всюду определена, то она называется рекурсивной функцией.