Понятие случайного процесса в математике (стр. 2 из 4)

Соответственно сочетания Х_t могут быть дискретными и непрерывными случайными величинами.

Случайный процесс называется Х(t) выборочно неправильным, дифференцируемым и интегрируемым в точке ω€Ω, если его реализация x(t) = x(t, ω) соответственно непрерывна, дифференцируема и интегрируема.

Случайный процесс Х(t) называется непрерывным: почти, наверное, если

P(A)=1, A = {ω € Ω : lim x(t_n) = x(t)}

В среднем квадратическом, если

LimM[(X(t_n) – X(t))²] = 0

По вероятности, если

Aδ ≥ 0 : limP[| X(t_n) – X(t)| > δ] = 0

Сходимость в среднем квадратическом обозначают также:

X(t) = limX(t_n)

Оказывается, из выборочной непрерывности следует непрерывность почти наверное, из непрерывности почти наверное и в среднем квадратическом следует непрерывность по вероятности.

Теорема. Если X(t) – гильбертов случайный процесс, непрерывный в среднем квадратическом, то m_x(t) – непрерывная функция и имеет место соотношение

Lim M [X(t_n)] = M [X(t)] = M [lim X(t_n)].

Теорема. Гильбертов случайный процесс X(t) непрерывен в среднем квадратическом тогда и только тогда, когда непрерывна его ковариационная функция R(t, t’) в точке (t, t).

Гильбертов случайный процесс X(t) называется дифференцируемым в среднем квадратическом, если существует случайная функция X(t) = dX(t)/dtтакая, что

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t +∆t € T),

т.е. когда

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t))²] = 0

Случайную функцию X(t) будем называть производной в среднем квадратическом случайного процесса X(t) соответственно в точке t или на T.

Теорема. Гильбертов случайный процесс X(t) дифференцируем в среднем квадратическом в точке t тогда и только тогда, когда существует

δ² R(t, t’) / δtδt’ в точке (t, t’). При этом:

R_x(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = δ² R(t, t’) / δtδt’.

Если гильбертов случайный процесс дифференцируем на Т, то его производная в среднем квадратическом также является гильбертовым случайным процессом; если выборочные траектории процесса дифференцируемы на Т с вероятностью 1, то с вероятностью 1 их производные совпадают с производными в среднем квадратическом на Т.

Теорема. Если X(t) - гильбертов случайный процесс, то

M[dX(t) / dt] = (d / dt) M[X(t)] = dm_x(t) / dt.

Пусть (0, t) – конечный интервал, 0 <t₁ < … <t_n = t – его точки

X(t) - гильбертов случайный процесс.

Y_n = ∑ X(t_i)(t_i – t_i-1) (n = 1,2, …).

Тогда случайная величина

Y(t) = limY_n

max (t_i – t_i-1)→0

Называется интегралом в среднем квадратическом процесса X(t) на (0, t) и обозначается:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Теорема. Интеграл Y(t) в среднем квадратическом существует тогда и только тогда, когда ковариационная функция R(t, t’) гильбертова процесса X(t) непрерывна на Т×Т и существует интеграл

R_y(t, t’) = ∫ ∫ R(τ, τ’) dτdτ’

Если интеграл в среднем квадратическом функции X(t) существует, то

M[Y(t)] = ∫ M[X(τ)]dτ,

R_Y(t, t’) = ∫ ∫ R(τ, τ’)dτdτ’

K_y(t, t’) = ∫ ∫ K(τ, τ’)dτdτ’

Здесь R_y(t, t’) = M[Y(t)Y(t’)], K_y(t, t’) = M[Y(t)Y(t’)] – ковариационная и корреляционная функции случайного процесса Y(t).

Теорема. Пусть X(t) – гильбертов случайный процесс с ковариационной функцией R(t, t’), φ(t) – вещественная функция и существует интеграл

∫ ∫ φ(t)φ(t’)R(t, t’)dtdt’

Тогда существует в среднем квадратическом интеграл

∫ φ(t)X(t)dt.

Случайные процессы:

X_i(t) = V_iφ_i(t) (i = 1n)

Где φ_i(t) – заданные вещественные функции

V_i- случайные величины с характеристиками

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

Называют элементарными.

Каноническим разложением случайного процесса X(t) называют его представление в виде

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t € T)

Где V_i – коэффициенты, а φ_i(t) – координатные функции канонического разложения процесса X(t).

Из отношений:

M(V_I = 0), D(V_I) = D_I, M(V_iV_j) = 0 (i ≠ j)

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t € T)

Следует:

K(t, t’) = ∑ D_iφ_i(t)φ_i(t’)

Эту формулу называют каноническим разложением корреляционной функции случайного процесса.

В случае уравнения

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ_i(t) (t € T)

Имеют место формулы:

X(t) = m_x(t) + ∑ V_iφ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ m_x(τ)dτ + ∑ V_i ∫ φ_i(t)dt.

Таким образом, если процесс X(t) представлен его каноническим разложением, то производная и интеграл от него также могут быть представлены в виде канонических разложений.

Марковские случайные процессы с дискретными состояниями

Случайный процесс, протекающий в некоторой системе S с возможными состояниями S₁, S₂, S₃, …, называется Марковским, или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t₀ вероятные характеристики процесса в будущем (при t>t₀) зависит только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние; т.е. не зависят от её поведения в прошлом (при t<t₀).

Примером Марковского процесса: система S – счётчик в такси. Состояние системы в момент t характеризуется числом километров (десятых долей километров), пройденных автомобилем до данного момента. Пусть в момент t₀ счётчик показывает S₀/ Вероятность того, что в момент t>t₀ счётчик покажет то или иное число километров (точнее, соответствующее число рублей) S₁ зависит от S₀, но не зависит от того, в какие моменты времени изменились показания счётчика до момента t₀.

Многие процессы можно приближенно считать Марковскими. Например, процесс игры в шахматы; система S – группа шахматных фигур. Состояние системы характеризуется числом фигур противника, сохранившихся на доске в момент t₀. Вероятность того, что в момент t>t₀ материальный перевес будет на стороне одного из противников, зависит в первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент t_0, а не от того, когда и в какой последовательности исчезли фигуры с доски до момента t₀.

В ряде случаев предысторией рассматриваемых процессов можно просто пренебречь и применять для их изучения Марковские модели.

Марковским случайным процессом с дискретными состояниями и дискретным временем (или цепью Маркова) называется Марковский процесс, в котором его возможные состояния S₁, S₂, S_3, … можно заранее перечислить, а переход из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком), но только в определённые моменты времени t_0,t_1,t_2, ..., называемые шагами процесса.

Обозначим p_ij – вероятность перехода случайного процесса (системы S) из состояния I в состояние j. Если эти вероятности не зависят от номера шага процесса, то такая цепь Маркова называется однородной.

Пусть число состояний системы конечно и равно m. Тогда её можно характеризовать матрицей переходаP₁, которая содержит все вероятности перехода:

p₁₁ p₁₂ … p_1m

p₂₁ p₂₂ … p_2m

… … … …

P_m1 p_m2 … p_mm

Естественно, по каждой строке ∑ p_ij = 1, I = 1, 2, …, m.

Обозначим p_ij(n) – вероятностью того, что в результате n шагов система перейдёт из состояния I в состояние j. При этом при I = 1 имеем вероятности перехода, образующие матрицу P₁, т.е. p_ij(1) = p_ij

Необходимо, зная вероятности перехода p_ij, найти p_ij(n) – вероятности перехода системы из состояния I в состояние j за n шагов. С этой целью будем рассматривать промежуточное (между I и j) состояние r, т.е. будем считать, что из первоначального состояния I за k шагов система перейдёт в промежуточное состояние r с вероятностью p_ir(k), после чего за оставшиеся n-k шагов из промежуточного состояния r она перейдёт в конечное состояние j с вероятностью p_rj(n-k). Тогда по формуле полной вероятности

P_ij(n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k) – равенство Маркова.

Убедимся в том, что, зная все вероятности перехода p_ij = p_ij(1), т.е. матрицу P₁ перехода из состояния в состояние за один шаг, можно найти вероятность p_ij(2), т.е. матрицу P₂ перехода из состояния в состояние за два шага. А зная матрицу P₂, - найти матрицу P₃ перехода из состояния в состояние за три шага, и т.д.

Действительно, полагая n = 2 в формуле P_ij(n) = ∑ p_ir (k) p_rj (n-k), т.е. k=1 (промежуточное между шагами состояние), получим

P_ij(2) = ∑ p_ir(1)p_rj (2-1) = ∑ p_irp_rj

Полученное равенство означает, что P₂ =P₁P₁ = P²₁

Полагая n = 3, k = 2, аналогично получим P₃ = P₁P₂ = P₁P₁² = P₁³, а в общем случае P_n= P₁ⁿ

Пример

Совокупность семей некоторого региона можно разделить на три группы:

1. семьи, не имеющие автомобиля и не собирающиеся его покупать;

2. семьи, не имеющие автомобиля, но намеревающиеся его приобрести;

3. семьи, имеющие автомобиль.

Проведённое статистическое обследование показало, что матрица перехода за интервал в один год имеет вид:

0,8 0,1 0,1

0 0,7 0,3

0 0 1

(В матрице P₁ элемент р₃₁ = 1 означает вероятность того, что семья, имеющая автомобиль, также будет его иметь, а, например, элемент р₂₃ = 0,3 – вероятность того, что семья, не имевшая автомобиля, но решившая его приобрести, осуществит своё намерение в следующем году, и т.д.)

Найти вероятность того, что:

1. семья, не имевшая автомобиля и е собиравшаяся его приобрести, будет находиться в такой же ситуации через два года;

2. семья, не имевшая автомобиля, но намеревающаяся его приобрести, будет иметь автомобиль через два года.

РЕШЕНИЕ: найдём матрицу перехода Р₂ через два года: