К примеру, когда была обнаружена несоизмеримость отрезков, при доказательстве этой теоремы исключалось обращение к физическому эксперименту, поскольку, во-первых, само понятие "несоизмеримость" лишено физического смысла, а, во-вторых, математики и не могли, имея дело с абстракцией, привлекать на помощь вещественно-конкретные протяженности, измеряемы чувственно-наглядным приемом. Несоизмеримость, в частности, стороны и диагонали квадрата, доказывается, опираясь на свойство целых чисел с привлечением теоремы Пифагора о равенстве квадрата гипотенузы (соответственно - диагонали) сумме квадратов катетов (двух сторон прямоугольного треугольника). Или когда Лобачевский искал для своей геометрии подтверждение, обращаясь к результатам астрономических наблюдений, то это подтверждение осуществлялось им средствами сугубо умозрительного характера. В интерпретациях неэвклидовой геометрии, проведенных Кэли - Клейном и Бельтрами, также фигурировали типично математические, а не физические объекты[3].
Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках. И опять же, как в случае с понятием математического объекта, речь идет не просто о степени абстракции, а о ее природе. Дело в том, что высокого уровня абстрагирования доказательство достигает и в ряде других наук, например, в физике, космологи и, конечно, в философии, поскольку предметом последней становятся предельные проблемы бытия и мышления. Математику же отличает то, что здесь функционируют переменные, смысл которых - в отвлечении от любых конкретных свойств. Напомним, что, по определению, переменные - знаки, которые сами по себе не имеют значений и обретают последние только при подстановке вместо них имен определенных предметов (индивидные переменные) или при указании конкретных свойств и отношений (предикатные переменные), или, наконец, в случаях замены переменной содержательным высказыванием (пропозициональная переменная).
Отмеченной особенностью и обусловлен характер крайней абстрактности используемых в математическом доказательстве знаков, равно, как и утверждений, которые, благодаря включению в свою структуру переменных, превращаются в функции высказывания.
Таким образом, можно сделать следующие выводы.
Математическое доказательство представляет рассуждение, имеющее задачей обосновать истинность какого-либо утверждения.
При характеристике математического доказательства выделяют две основные особенности. Прежде всего, то, что математическое доказательство исключает какие-либо ссылки на эмпирию. Вторая особенность математического доказательства - его наивысшая абстрактность, которой оно отличается от процедур доказательства в остальных науках.
Вопросы понимания механизмов человеческого мышления, выработки приемов повышения его эффективности в те далекие времена больше занимали, говоря сегодняшним языком, представителей гуманитарных профессий: философов, теологов, психологов. Первые упоминания об эвристике, учении о продуктивных методах творческого мышления, относятся к временам античности. Наиболее ранние попытки выявить особенности творческого подхода при решении задач нашли отражение в трудах Архимеда, Евклида, Апполония Бергамского, Аристея-старшего. Сам же термин "эвристика" впервые появился в трудах греческого математика Паппа Александрийского, жившего во второй половине III века нашей эры.
Эвристика (от греч. "эврика" - Я нашел) - наука о вспомогательных, дополнительных к основным (эксперимент, наблюдение и т.п.) приемах получения знаний.
В научной литературе это понятие не имеет единого толкования. В некоторых работах об интенсификации научно-технического творчества эвристика отождествляется с психологией научного творчества: "Психология научного творчества - эвристика изучает, как решаются научные задачи, требующие, кроме знаний и умений, также и сообразительности, догадки".
Другие психологи считают, что эвристика - это "абстрактно-аналитическая наука, изучающая один из структурных уровней организации творческой деятельности и ее продуктов".
Следующие определения эвристики:
1.Специальные методы, используемые в процессе открытия (создания) нового (эвристические методы).
2.Наука, изучающая продуктивное творческое мышление (эвристическую деятельность).
3.Восходящий к Сократу метод обучения (майевтика) .
По мнению психологов, эвристика - это отрасль знания, "изучающая формирование новых действий в необычной ситуации", она может стать наукой "в том случае, если эвристические процессы, приводящие к этим новым действиям, найдут наконец свое математическое описание".
Приведенные высказывания (которых можно было бы привести больше), свидетельствуют о том, что эвристика как самостоятельная наука еще не сформировалась.
Несмотря на большое количество научных трудов, посвященных вопросам эвристики, они, как правило, касаются ее частных проблем и не дают четкого представления ни об объекте, ни о предмете эвристики, ни о ее статусе среди других наук.
Попытка обобщения многочисленных концепций и формулирование на этой основе определения статуса и предмета эвристики изложены в работах Буша Г.Я и Буша К. По определению авторов этой работы: "Эвристика - это общенаучная теория решения проблемных задач, возникающих в человеческой деятельности и общении".
Предметом эвристики является "выявление, обработка и упорядочение закономерностей, механизмов и методологических средств антиципации (предвосхищения) и конструирования нового знания и целеустремленных способов деятельности и общения, создаваемых на основе обобщения прежнего опыта и опережающего отражения моделей будущего с целью более полного удовлетворения потребностей людей".
Оценивая попытку авторов, можно сказать, что с точки зрения обобщения частных подходов к эвристике она удалась, но вместе с тем, очевидно, стремление к детерминации общности помешало авторам в данном определении выделить специфические черты именно эвристики, и в результате под это определение можно подвести и другие общенаучные дисциплины, например такие, как прогнозирование или системный подход.
Множество толкований эвристики говорит о разном содержании, которое вкладывают авторы различных концепций в данное понятие. При этом общим и бесспорным является то, что во всех случаях эвристика неразрывно связывается с творческой деятельностью, с творчеством.
Общими звеньями, связывающими в единую цепь понятия "эвристика" и "творчество", являются представления о нетривиальности, неординарности, новизне и уникальности. Применительно к понятию "творчество" такими качествами характеризуется результат творческой деятельности, применительно к эвристике - методы и средства получения этого результата.
К проблемам создания эвристики обращались ряд философов и математиков, например, Р. Декарт, Г. Лейбниц, Б. Больцано, А. Пуанкаре. Например, в труде "Правила для руководства ума" Р. Декарт предложил ряд принципов поиска истины. Они настолько интересны и актуальны еще и сегодня, что стоит кратко познакомиться с некоторыми его мыслями.
Декарт, во-первых, утверждал, что способность правильно судить и отличать истинное от ложного, что, собственно, и именуется здравым смыслом или разумом, от природы у всех людей одинакова. "Таким образом, различие наших мнений происходит не оттого, что одни люди разумнее других, но только оттого, что мы направляем наши мысли разными путями и рассматриваем не те же самые вещи. Ибо мало иметь хороший ум, главное - хорошо его применять". (Можно добавить, что мало иметь хорошие знания, главное уметь их применять.)
Для хорошего же применения своего ума Декартом сформулированы четыре принципа, следовать которым он рекомендовал, и которые остаются актуальными и в наше время. Приведем их и вслед за их автором настойчиво порекомендуем следовать им, и особенно - второму, поскольку он предвосхитил, как мы увидим дальше, один из фундаментальных системных принципов.
Первое - "никогда не принимать за истинное ничего, что я не познал бы таковым с очевидностью; иначе говоря, тщательно избегать опрометчивости и предвзятости и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму столь ясно и столь отчетливо, что не дает мне никакого повода подвергать их сомнению".
Второе - "делить каждое из исследуемых затруднений на столько частей, сколько это возможно и нужно для лучшего их преодоления".
Третье - "придерживаться определенного порядка мышления, начиная с предметов наиболее простых и наиболее легко познаваемых и восходя постепенно к познанию наиболее сложного, предполагая порядок даже и там, где объекты мышления вовсе не даны в их естественной связи".
И последнее - "составлять всегда обзоры столь общие, чтобы была уверенность в отсутствии упущений".
Основными этапами эвристического подхода являются "...накопление сведений об изучаемом явлении на нестрогом эвристическом уровне на основе численного эксперимента, создание интуитивной схемы явления, проверка ее на следующем этапе численного эксперимента и, наконец, построение строгой теории...". Свою точку зрения на предмет математики и ее соотношения с другими науками изложил в эссе "Математик" и статье "Роль математики в науках и обществе" математик и философ Нейман фон Джон. По Нейману, "...самая жизненно важная отличительная особенность математики состоит в ее совершенно особой связи с естественными науками или... с любой наукой, интерпретирующей опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный. Большинство людей... согласятся с тем, что математика не является эмпирической наукой или что она, по крайней мере, по образу действий отличается в некоторых весьма важных отношениях от методов эмпирических наук. Тем не менее, развитие математики весьма тесно связано с естественными науками. Один из ее разделов - геометрия - зародился как естественная, эмпирическая наука. Некоторые из наиболее ярких идей современной математики... отчетливо прослеживаются до своих истоков в естественных науках. Математические методы пронизывают "теоретические разделы" естественных наук и доминируют в них. Главный критерий успеха в современных эмпирических науках все в большей мере усматривают в том, насколько эти науки оказываются в сфере действия математического метода или почти математических методов физики. Неразрывная цепь последовательных псевдоморфоз, пронизывающая естественные науки, сближающая их с математикой и почти отождествляемая с идеей научного прогресса, становится все более очевидной. В биологию... проникают химия и физика, в химию - экспериментальная и теоретическая физика, в физику - наиболее изощренные в своей математической форме методы теоретической физики. Природа математики обладает весьма замечательной двойственностью. Эту двойственность необходимо осознать, воспринять и включить ее в круг представлений, неотъемлемых от предмета. Эта двуликость присуща лицу математики, и я не верю, что можно прийти к какому-либо упрощенному единому взгляду на математику, не пожертвовав при этом существом дела... Я считаю, что довольно хорошее приближение к истине (которая слишком сложна, чтобы допускать что-нибудь, кроме аппроксимации) состоит в следующем. Математические идеи берут свое начало в эмпирике, но генеалогия их подчас длинна и неясна. Но коль скоро эти идеи возникли, они обретают независимое, самостоятельное существование. Их лучше сравнивать с художественными произведениями, подчиняющимися чисто эстетическим оценкам, чем с чем-либо другим и, в частности, с эмпирическими науками. Однако... когда математическая дисциплина отходит достаточно далеко от своего эмпирического источника, а тем более, когда она принадлежит ко второму или третьему поколению и лишь косвенно вдохновляется идеями, восходящими к "реальности", над ней нависает... серьезная опасность. Она все более превращается в... искусство ради искусства... существует серьезная опасность... что математическая дисциплина начнет развиваться по линии наименьшего сопротивления, что поток вдали от источника разделится на множество мелких рукавов и что соответствующий раздел математики обратится в беспорядочное нагромождение деталей и всякого рода сложностей... на большом расстоянии от эмпирического источника или в результате чересчур абстрактного инбридинга /скрещивания близкородственных форм. Математической дисциплине грозит вырождение. При появлении того или иного раздела математики стиль обычно бывает классическим. Когда же он обретает признаки перерождения в барокко, это следует расценивать, как сигнал опасности... При наступлении этого этапа единственный способ исцеления... состоит в том, чтобы возвратиться к источнику и впрыснуть более или менее прямо эмпирические идеи. Я убежден, что это всегда было необходимо для того, чтобы сохранить свежесть и жизненность математической теории, и что это положение остается в силе и в будущем..." (эссе "Математик"). Нейман писал о том, что "...математика не должна ограничиваться ролью поставщика решений различных задач, возникающих в естественных науках; наоборот, естествознание должно стать неисчерпаемым источником постановок новых чисто математических проблем...". ("Роль математики в науках и обществе").