Понятие эвристики в математике (стр. 6 из 7)
Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач, которая «неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности». Поэтому использование текстовых задач в обучении математике на ранних этапах необходимо, однако спешить с применением уравнений при их решении не следует. Последнее предполагает ряд таких умений (моделировать словесно заданные ситуации, выражать заданные величины одну через другую и т. д.), которые как раз и формируются при решении текстовых задач арифметическим способом[10]. Ученик, овладевший хотя бы некоторым опытом решения текстовых задач арифметическим методом, при встрече с алгебраическим методом будет, в какой-то мере, удивлен оригинальностью суждения при его использовании, и эта неожиданность будет усиливать привлекательность алгебраического метода.
Анализируя учебники геометрии для основной школы, можно увидеть, что метод «от противного» используется при решении задач уже на первых уроках геометрии, хотя учащиеся еще не осознали смысл прямого обоснования. Поэтому в такой ситуации применение этого метода может вызвать лишь неприязнь к изучению геометрии. Последнему будет способствовать и неопределенность требований первых задач курса геометрии.
Как уже было отмечено, важной характеристикой меры красоты является порядок, который выступает в различных формах. Наиболее распространенной из них является симметрия. Причем речь идет не только о симметрии как гармонии частей целого, их упорядоченности, но и как осознании стройности математических доказательств. Поэтому наиболее привлекательными для учащихся являются изящные доказательства. Отметим и такие характеристики красоты математики, как возможность влияния на дальнейшее продвижение в той или иной области на основе аналогии и обобщения, богатство возможных приложений как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность.
Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируются определенные образы, бессознательно «ждущие» встречи с соответствующими объектами. Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется, это переживается как красота. В ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его корковую модель, но не укладывается в нее полностью, возникает удивление и связанный с ним познавательный интерес. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове. В связи со сказанным, в обучении важно использование различных рисунков к доказательству теоремы, упражнений на распознавание объектов, принадлежащих формируемому понятию, различных способов доказательства, самостоятельного открытия теорем, оригинальных способов решений, укрупнения единиц, чертежей с одной основой, аналогичных задач, блоков «родственных» задач и т. д. Все это непосредственно связано с красотой, с механизмами эстетического воспитания школьников средствами математики, с выработкой эстетического вкуса путем формирования стандартов (устойчивых математических образов).
Рассмотрим конкретные примеры.
1. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B. На его гипотенузе AC (вне его) построен квадрат ACDE с центром O. Доказать, что луч BO является биссектрисой угла ABC.
Возможно, что кто-то из учащихся, решавших эту задачу, и предложит один из способов ее решения. Однако может оказаться, что таких учащихся не найдется. В таком случае можно предложить рассмотреть частный случай, обусловленный тем, что треугольник ABC будет прямоугольным и равнобедренным. Чертеж, иллюстрирующий данную ситуацию, будет более привлекателен для учащихся, так как его восприятие в большей мере соответствует их житейским образам. Поэтому к такому рисунку будет проявлено большее любопытство.
Рисунок 1
Легко заметить, что фигура на рис.1 симметрична относительно прямой BO. Этот факт легко может быть и обоснован: точка B равноудалена от точек A и C, следовательно, она принадлежит оси симметрии этих точек. Аналогично, этой же оси симметрии принадлежит и точка O. Значит, прямая BO — ось симметрии четырехугольника ABCO, а потому луч BO является биссектрисой угла B. Ясно, что обоснование доказываемого утверждения может быть выполнено и другим способом.
Устанавливаем, что четырехугольник ABCO — квадрат, около которого можно описать окружность. По отношению к ней углы ABO и OBC являются вписанными, опирающимися на равные дуги AO и OC (рис. 2). Легко заметить, что перемещая точку B по окружности (рис. 3), приходим к рис. 4, который и соответствует данной задаче. Частный случай подсказал способ ее решения. Ясно, что идея симметрии в общем случае не срабатывает, однако она наталкивает на идею использования поворота вокруг точки O на 90°.
Рисунок 2
Рисунок 3
Пусть это будет поворот по часовой стрелке. Он переведет прямую AB в прямую BC, поскольку точка A перейдет в точку C, а прямая AB — в прямую, проходящую через точку C перпендикулярно к AB, то есть в прямую BC. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB и BC, а потому принадлежит оси симметрии угла ABC.
Решив данную задачу, следует обратить внимание учащихся на эвристики:
1) если в задачной ситуации имеется два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой, то полезно для решения задачи ввести окружность, описанную около этих треугольников;
2) если в условии задачи даны две взаимно перпендикулярные прямые либо квадрат, то для ее решения можно воспользоваться поворотом вокруг центра квадрата на 90°.
Далее можно предложить рассмотреть случай, когда квадрат, построенный на гипотенузе AC, содержит точку B. В зависимости от уровня подготовленности класса можно продвинуться и далее. Например, прямоугольный треугольник можно заменить двумя взаимно перпендикулярными прямыми, проходящими через соседние вершины квадрата. Можно предложить учащимся составить несколько аналогичных задач, заменив квадрат, например, правильным треугольником. В этом случае две взаимно-перпендикулярные прямые должны быть заменены двумя прямыми, проходящими через соседние вершины треугольника и образующими угол в 120°. Указанная задачная ситуация может быть обобщена на правильный шестиугольник и т. д.
Рисунок 4
Можно заметить, что исследование задачной ситуации с использованием обобщения, конкретизации и аналогии способствует созданию обобщенного образа этой ситуации, особенно в том случае, когда она является опорной, то есть используемой в большинстве задач изучаемого раздела. Встреча учащихся с рисунком, который отложился в памяти ученика, вызовет те ассоциации, которые были связаны с ним ранее и могут продвинуть решение задачи. Наконец отметим и то, что поиск решения задачи осуществляется посредством приема мысленного преобразования исследуемого объекта, что важно, потому что данный прием является эффективным эвристическим приемом в математическом познании. С другой стороны, решение подобных задач формирует сам указанный прием, а также приемы обобщения, аналогии, конкретизации и т. п.
2. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (∟C = 90°). Построен отрезок CC1 (C1AB), перпендикулярный медиане AA1. Найти отношение BC1 : C1A.
Данная задача интересна тем, что допускает различные способы решения, хотя заключительный этап ее решения не богат возможностями конструирования новых задач. В журнале «Математика в школе» (№ 4/1981, с. 69[11]) приведено пять способов решения задач, однако среди них нет самого простого способа, основанного на использовании координатного метода. Приведем его.
Введем систему координат так, чтобы прямая CA служила осью Ox, прямая CB — осью Oy (луч CA определяет положительное направление оси Ox, а луч CB — оси Oy); за единицу измерения примем длину отрезка AC.
Тогда
где
.Уравнение прямой CC1 имеет вид:
а уравнение прямой A1A – 
Используя условие перпендикулярности прямых, получаем
Заключительный этап решения задачи обладает большим эстетическим потенциалом и служит хорошим средством формирования мотивации учебной деятельности школьника. Данный этап имеет значительные возможности для приобщения школьников к составлению задач, что связано с исследованием задачной ситуации.
3. Если хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой.
Конкретизация задачной ситуации приведет к задаче, в условии которой хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром. Поскольку в полученной задаче используется частный случай, то решение последней задачи распространяется и на решение полученной. Данная задачная ситуация может быть интерпретирована по-другому: из точки окружности проведен перпендикуляр к ее диаметру. Квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков диаметра. Заметим, что конкретизация приводит к ситуации, когда имеется решение задачи, а сама задача должна быть сформулирована.
Обобщение основной задачи приводит к ситуациям:
1) прямые, которым принадлежат хорды, пересекаются вне круга, определяемого данной окружностью;