Применение методов дискретной математики в экономике (стр. 1 из 6)
Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тихоокеанский Государственный Университет»
Институт экономики и управления
Кафедра Экономическая кибернетика
Специальность 080116 Математические методы в экономике
МАТЕМАТИКИ В ЭКОНОМИКЕ
Курсовая работа по дисциплине
«Дискретная математика»
КР. 030590198
Выполнила:
Студентка группы ММО-31
Рязанова А.В.
Руководитель работы:
Пазюк К. Т.
Реферат
Курсовая работа содержит пояснительную записку на 33 листах формата А4, включающую 6 таблиц, 13 рисунков, 9 литературных источников.
БУЛЕВА ФУНКЦИЯ, ВЫСКАЗЫВАНИЯ, ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ, ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ, ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА, КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА, ПОЛИНОМ ЖЕГАЛКИНА, ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ, ГРАФ, «ЖАДНЫЙ» АЛГОРИТМ, АЛГОРИТМ ДЕЙКСТРА, ЗАДАЧА КОММИВОЯЖЁРА, НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО, КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТЬ, НЕЧЕТКОЕ ОТНОШЕНИЕ ПРЕДПОЧТЕНИЯ, АЛЬТЕРНАТИВА, СТЕПЕНЬ НЕДОМИНИРУЕМОСТИ
Объект исследования данной курсовой работы: дискретные системы, методы дискретной математики и их применение в области экономики.
Цель работы – ознакомиться с максимально широким кругом понятий дискретной математики и выявить ее основные методы, которые могут использоваться в экономике. Раскрыть взаимосвязь понятий, их внутреннюю логику. Научиться правильно формулировать экономические задачи.
В курсовой работе были рассмотрены и применены: методы математической логики: метод построения таблицы истинности, нахождение полинома Жегалкина методом неопределенных коэффициентов, метод нахождения производных, метод нахождения конъюнктивной и дизъюнктивной нормальной формы; методы теории графов: «жадный» алгоритм, алгоритм Дейкстра, венгерский метод решения задачи коммивояжера; методы теории нечетких множеств: метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.
Введение
1 Применение логических функций
1.1 Применение методов дискретной математики в экономике
1.2 Практическое применение методов математической логики
2 Применение теории графов
2.1 Практическое применение жадного алгоритма
2.2 Применение алгоритма Дейкстры
2.3 Задача коммивояжера
3 Практическое применение теории нечетких множеств
Заключение
Список использованных источников
В данной курсовой работе содержится три основных раздела: применение математической логики экономике; применение теории графов в экономике и применение отношения нечеткого предпочтения.
Первая часть данной работы посвящена применению методов дискретной математике и математическому моделированию в экономике и математической логике, где рассматриваются логические операции и преобразование логических функций, приведение функций к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальной форме, построение таблицы истинности, нахождение полинома Жегалкина для заданной функции и её производных по одной и двум переменным.
Во второй части подробно рассматривается применение жадного алгоритма, алгоритма Декстры, и задачи коммивояжера на конкретных примерах. Во всех этих задачах требуется найти оптимальный (в данном случае минимальный) маршрут. Большинство понятий, излагаемых в данной главе, широко известны, потому что графы, благодаря своей наглядности и универсальности стали использоваться в экономике. Теория графов широко применяется при решении задач управления производством и экономикой в целом.
В третьей части рассматривается многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтений. В курсовой работе показано, как элементы теории нечетких множеств можно применять для решения экономических задач в условиях неопределённости.
1. применение Логических функций
1.1 Применение методов дискретной математики в экономике
При исследовании, анализе и решении управленческих проблем, моделировании объектов исследования и анализа широко используются методы формализированного представления, являющегося предметом рассмотрения в дискретной математике. К ним относятся методы, основанные на теоретико-множественных представлениях, графы, алгоритмы формальные системы, математическая логика.
В экономике существует множество отраслей, использующих методы дискретной математики. Это и эконометрика, и логистика, и математическое моделирование. Так, в эконометрике булевские переменные применяются в исследовании регрессионных моделей с переменной структурой и в построении регрессионных моделей по неоднородным данным. В этом случае рассматривается лишь одно уравнение регрессии, куда вводятся булевские переменные, которые характеризуют изучаемый фактор. Данный метод удобен для выявления зависимости модели от некоторого фактора.
Теория графов широко используется в логистике для описания потоков, задания маршрутов. Так схему дорог удобнее представить в виде ориентированного графа, и известными нам методами выбрать кратчайший путь. В настоящее время, прокладывая маршрут, нельзя не брать во внимание и пропускную способность магистралей, интерпретируя маршруты в графы, можно получить экономически выгодное решение.
При помощи теории нечетких множеств, методом нечеткого предпочтения, можно выбрать конкурентоспособный товар или услугу. Поэтому, данная теория применяется в маркетологии, при исследовании рынков различных экономических благ.
1.2 Практическое применение методов математической логики
Всякая логическая функция «n» переменных может быть задана таблицей, в левой части которой перечислены все 2n наборов значений переменных (то есть всевозможных наборов двоичных векторов длины «n»), а в правой части приведены значения функции на этих наборах. При любом фиксированном упорядочении наборов значений переменных логическая функция «n» переменных полностью определена вектор-столбцом своих значений, то есть вектором длины 2n. Поэтому число различных логических функций «n» переменных будет
. В самом деле, для одного набора значений своих переменных (строка левой части таблицы) значение функции может быть либо 1, либо 0 (две возможности). Число же возможных различных наборов аргументов функции, как уже отмечалось равно 2n, поэтому число различных логических функций будет /1/.Заданием в данном пункте является построение таблицы истинности для следующего высказывания:
,Высказыванием называется повествовательное предложение, о котором можно сказать в данный момент, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. “Истинность” или “ложность” предложения – это истинностное значение высказывания. Каждому высказыванию сопоставляется переменная, равная 1, если высказывание истинно, и равная 0, если оно ложно. Эти высказывания будут считаться простыми. Из простых высказываний с помощью логических связок могут быть построены составные высказывания. В таблице 1 приведены некоторые логические связки, используемые при задании данной функции (1).
Таблица 1-Логические связки
| Название | Обозначение |
| Конъюнкция | & |
| Импликация | ® |
| Сумма по модулю два | Å |
| Штрих Шеффера | | |
| Отрицание | Ø |
| Дизъюнкция | Ú |
| Стрелка Пирса | ¯ |
Правильно построенные составные высказывания называются (пропозиционарными) формулами. Истинностное значение формулы определяется через истинностные значения её составляющих в соответствии с единой таблицей истинности (таблица 2).
Таблица 2-Истиностные значения формул высказывания
| Х1 | Х2 | X1&X2 | X1® X2 | X1ÅX2 | X1Ú X2 | ØX1 | X1¯ X2 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Для того чтобы составить таблицу истинности для формулы, необходимо выполнить последовательность всех логических операций.
, (1)После последовательного выполнения всех логических операций составляется таблица истинности для данной функции
Таблица 3- Таблица истинности функции (1)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| x | y | z | & |  |  |  |  |  |  |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Приведение функции к конъюнктивным и дизъюнктивным нормальным формам. Конъюнктивным (дизъюнктивным) одночленом от переменных а1, а2, а3,…,аn называется конъюнкция (дизъюнкция) этих переменных или их отрицаний. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных произведений (конъюнктивных одночленов), называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных произведений (дизъюнктивных одночленов), называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы /2/. Справедливы следующие теоремы: любая булева функция, тождественно не равная нулю, представима и притом единственным образом в виде ДНФ по формуле: