Основные задачи вычислительной математики (стр. 2 из 2)

(1.18)

Или записывая более компактно:

(1.19)

Эту формулу можно переписать в виде:

(1.20)

в) Рассмотрим частные случаи:

1. Пусть

. Изучим абсолютные и относительные погрешности суммы.

Решение: т.к.

(1.21)

то из (1.17) получаем

(1.22)

Также из (1.18) получаем:

(1.23)

2. Пусть,

. Изучим абсолютные и относительные погрешности разности

Решение:

;

, поэтому из (1.17) имеем

(1.24)

А из (1.18) получаем:

(1.25)

Ясно, что если

близкие друг к другу числа, то

очень малое число, т.е. абсолютная погрешность разности будет очень большим числом. Поэтому при вычислениях, где это возможно, нужно избегать вычитания близких друг к другу чисел.

Например, если нам нужно вести вычисления по формуле:

- объём между двумя сферами, где

- очень малое число. Здесь лучше избавиться от вычитания и пользоваться аналогичной формулой

, тем самым, обходя вычитание близких чисел, которое может быть больше относительной погрешности вычислений.

3. Изучим погрешности произведения чисел.

(1.26)

(1.27)

отсюда очевидно, что

(1.28)

(1.29)

Таким образом, при умножении приближённых чисел, относительные погрешности складываются.

4. Рассмотрим погрешности деления чисел.

(1.30)

(1.31)

Поэтому

(1.32)

(1.33)

Из вышеизложенных частных случаев следует, что при вычислениях на ЭВМ:

- нет смысла производить округление перед сложением (т.к. увеличим погрешность);

- при вычитании надо всячески избегать разности близких чисел;

- если вычисляем произведение чисел с k верными знаками, то в результате будем иметь не менее k-1 верных знаков;

- при делении действуют те же правила, что и при умножении, но надо избегать деления на малое число (близкое к нулю).

Вышеизложенная теория погрешностей основана на допущении, что

-погрешности настолько малы, что их квадратами можем уже пренебрегать (на этом основано «обрезание» формулы Тейлора).

Поэтому все введённые формулы теряют силу, если эти условия нарушены. В таких случаях нужно использовать и квадратичные члены, чтобы получить более точную теорию.

Но надо учитывать, что в этом случае формулы значительно усложняются.

В заключение рассмотрим числовой пример:

Пример 5: Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объёма шара

, если

см.,

Решение:

;

имеем:

;

(1.34)

(1.35)

Упражнение: вывести формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для функции

, а далее для многочлена

и рациональной функции.

Пример 6: Найти сумму приближённых чисел:

Решение:

, т.е.

Пример 7: Найти относительную погрешность разности чисел

, если

т.е. если

Решение:

Именно поэтому избегают вычитания приближённых значений близких друг к другу чисел.

Пример 8: Найти произведение чисел, если все знаки верные:

Решение:

, т.к.

то имеем

следовательно

, т.е.

Окончательно имеем:

Пример 9: Расстояние между двумя пунктами по прямой равно

км.

За какое время звук распространится от одного пункта до другого в воздухе и по рельсам, если скорость звука в воздухе

м/с, а в стали

м/с?

Решение:

(с.);

(с.)

т.е.

(с.)