Основные понятия алгебры множеств (стр. 2 из 3)

Пустое множество включено в любое множество.

Для пояснения смысла этого предложения рассмотрим следующий пример. Пусть A – множество крокодилов. Ясно, что это множество может иметь какие-то подмножества. Например, множество C крокодилов, живущих в зоопарках. Тогда отношение между A и C можно записать как CÌA. Рассмотрим еще одно подмножество множества A: подмножество крокодилов, говорящих на русском языке. Ясно, что это пустое множество и, тем не менее, можем его считать подмножеством множества A. В математических рассуждениях, когда нам надо доказать, что данное множество X не существует (или существует), сводим доказательство существования к доказательству отношения X=Æ (или X¹Æ). Часто такой метод позволяет намного упростить доказательство.

Если множество задано перечислением элементов, то часто интерес представляет совокупность всех подмножеств этого множества. Например, для множества A={a, b, c} такая совокупность состоит из восьми подмножеств:

Æ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}.

Само множество А является подмножеством самого себя. Известно также простое соотношение, позволяющее сразу же узнать общее число всех возможных подмножеств множества, содержащего ровно N элементов. Оказывается, что для любого N такое число равно 2^N. Например, для нашего множества A={a, b, c} число всех возможных подмножеств равно 2³.

Обычно во многих рассуждениях используется некоторый набор множеств. Такой набор называется в алгебре множеств системой множеств. В систему множеств при этом помимо пустого множества включается и универсум, т.е. множество, для которого все множества системы множеств являются подмножествами. Другими словами, системой множеств является некоторая совокупность подмножеств некоторого множества, принятого за универсум. Например, для множеств планет, комет, звезд и т.д. в качестве универсума можно принять множество астрономических объектов.

Для универсума нет общепринятых обозначений. Далее будем обозначать его символом U.

Перейдем к операциям. Начнем с операции дополнения, которая может быть определена только тогда, когда для системы множеств задан универсум.

Определение 2. Дополнением множества A называется множество

, содержащее все элементы универсума, которые не являются элементами множества A.

В логике дополнению множества соответствует связка "не". Например "не красный" – любой возможный цвет кроме красного. Обычно дополнение множества обозначается с помощью черты, расположенной над символьным обозначением этого множества. Например,

является обозначением дополнения множества .

Пример 1. Пусть U={a, b, c, d} и P={a, c}. Тогда

={b, d}.

Определим еще две основные операции – пересечение и объединение множеств.

Определение 3. Пересечением множеств A и B называется множество C, все элементы которого являются одновременно элементами множеств A и B.

Операция пересечения множеств обозначается символом "Ç". Символически определение 3 можно записать как формулу

C = AÇB.

Например, пересечением множества всех студентов данного вуза и множества всех участников КВН, является множество студентов данного вуза, участвующих в КВН. Другой пример: пересечением множества всех чисел, делящихся на 2, и множества всех чисел, делящихся на 3, является множество всех чисел, делящихся на 6.

В логике операции пересечения соответствует логическая связка "И" (обозначается как Ù или &). Если речь идет об объектах со свойствами P или Q, то логическая формула PÙQ означает, что речь идет только об объектах, которым присущи оба этих свойства. Если, допустим, свойствам P и Q соответствуют некоторые множества S_P и S_Q, то пересечение этих множеств S_PÇS_Q, будет состоять из элементов, каждому из которых одновременно присущи свойства P и Q

Пример 2. Пусть A={a, b, c, d} и P={a, c, f}. Тогда AÇP = {a, c}.

Определение 4. Объединением множеств A и B называется множество C, все элементы которого являются элементами по крайней мере одного из этих множеств.

Операция объединения множеств обозначается символом "È". Символически определение 4 можно записать как формулу

C=AÈB

В логике операции объединения соответствует логическая связка "ИЛИ" (обозначается "Ú"). Если речь идет об объектах со свойствами P или Q, то логическая формула PÚQ означает, что речь идет только об объектах, которым присуще хотя бы одно из этих свойств. При этом допускается, что объекты, которым присущи оба этих свойства, также относятся к этому классу объектов.

Пример 3. Пусть A={a, b, c, d} и P={a, c, f}. Тогда AÈP = {a, b, c, d, f}.

Обратите внимание, что в примере 3 элементы a и c, которые содержатся в каждом из множеств A и B, в объединении C не удваиваются, а содержатся как однократные. В математике и ее приложениях иногда используют множества с кратными элементами (они называются мультимножествами), но нам такие множества не понадобятся. В таких множествах нарушаются некоторые законы обычной алгебры множеств.

Операции дополнения, пересечения и объединения являются основными операциями алгебры множеств.

Определение 5. Разностью множеств A и B называется множество C=A\B, которое содержит только те элементы множества A, которые не являются одновременно элементами множества B.

Пример 4. Пусть A={a, b, c, d} и B={a, c, f}. Тогда A\B = {b, d}.

Важно отметить, что разность множеств является производной операцией. Это означает, что ее можно выразить с помощью других основных операций – для разности множеств справедливо следующее соотношение:

A\B = AÇ

.

Если в примере 4 задать универсум, например, U = {a, b, c, d, e, f}, то нетрудно убедиться в справедливости этого равенства:

= {b, d, e}; тогда A\B =AÇ = {b, d}.

В то же время операцию дополнения можно выразить с помощью операции разности:

=U\A. В некоторых версиях алгебры множеств операция разности множеств представлена как основная операция, а операция дополнения – как производная операция. Однако основные соотношения (или законы) алгебры множеств при этом остаются неизменными.

На рисунке 3 соответствующие операции над множествами изображены с помощью "кругов Эйлера". Серым цветом показаны результаты операций.

Рис. 3

Здесь хотелось бы обратить внимание на следующее важное обстоятельство. Для множеств A и B, у которых нет общих элементов, справедливы следующие соотношения:

AÇB = Æ ; AÍ

; BÍ .

Ситуацию, соответствующую этим соотношениям, можно наглядно отобразить с помощью диаграммы Эйлера (рис. 4).

Рис. 4

Теперь у нас вполне достаточно понятий для того, чтобы отобразить в виде математической формулировки заданные суждения. Например, суждение "Все члены палаты лордов носят титул пэра" то расчленяется на субъект "члены палаты лордов" (A) и предикат "носят титул пэра" (B). Тогда математической формулой данного суждения будет

AÍB.

Это означает, что все члены палаты лордов включены в множество тех, кто носит титул пэра. Более сложное суждение, например, "Все члены палаты лордов носят титул пэра и находятся в здравом рассудке" можно выразить, используя два предиката: "носят титул пэра" (B) и "находятся в здравом рассудке" (С). Тогда получим следующую математическую формулировку:

AÍ(BÇC).(1)

В случае, когда в суждении имеются предикаты с отрицаниями, используем в математической записи операцию дополнения. Например, суждение "Все члены палаты лордов носят титул пэра и не принимают участия в скачках на мулах", можно записать как

AÍ(B Ç

), (2)

где D – предикат "принимают участие в скачках на мулах".

Если использовать диаграммы Эйлера, то получим наглядное изображение формул (1) и (2) (рисунки 5 и 6).

Рис. 5

Рис. 6

Количественные соотношения в диаграммах Эйлера (т. е. в данном случае – площади фигур) не принимаются во внимание. Среди наших знаний немало таких, когда не знаем, чему равно число элементов множества, но это не мешает нам знать о том, что некоторые из таких множеств строго включены в некоторые другие множества, или что некоторые из таких множеств точно не содержат общих элементов с некоторыми другими множествами. Количественный анализ множеств во многих случаях является составной частью наших знаний.

В математическую форму суждений можно перевести многие предложения естественного языка.

Законы алгебры множеств – это по сути теоремы, которые выводятся из основных определений и аксиом. Часто приводятся 26 или 28 законов алгебры множеств. Приведем без доказательства лишь некоторые из них, необходимые для ясного понимания дальнейшего. Пусть A, B, C – некоторые произвольные множества в универсуме U. Тогда законами алгебры множеств являются следующие соотношения между ними.