Основополагающим исследованием, от которого, собственно, и ведет свое начало теоретическая гидродинамика, является сочинения Эйлера «Общие принципы движения жидкостей»[3]. В нем Эйлеру впервые вывел основные уравнения гидродинамики для жидкости, лишенной вязкости.
Исследования колебаний струн, мембран, стержней и важнейшей задачи гидродинамики уже в 50-х годах XVIII века послужили источником возникновения теории уравнений в частных производных. В области обыкновенных дифференциальных уравнений Эйлер и его современники могли использовать результаты, полученные их предшественниками, в новой же области надо было начинать с самого начала. Эйлер был прав, говоря, что в этой новой области анализа нет не только каких-либо приемов решения, но и необходимых обозначений.
В постановке аналитических задач теории уравнений в частных производных решающая роль принадлежала физике. Сведения указанных физических задач к чистому анализу сразу же потребовало разыскания первых подступов к этой новой ветви математики. Отправным пунктом здесь могла служить лишь теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Так, в первых работах о струне Эйлер использовал метод интегрирующего множителя и теорию уравнений в полных дифференциалах, а в более поздних широко применял метод степенных рядов.
Гораздо сложнее оказалась проблема создания новых методов, отвечающих самой природе уравнений нового вида. Ее решение является одним из важнейших вопросов современной математики. На долю исследователей XVIII века выпало создание основ метода характеристик и метода тригонометрических рядов. Первое выполнил Эйлер, второе начал в свои исследованиях Д. Бернулли. Оба эти метода получили дальнейшее развитие в XIX веке и являются одним из самых сильных в современной теории уравнений в частных производных. Лагранж заложил основы теории сопряженных уравнений, что являлось позже исходным пунктом в разработке известного «метода Римана», в котором существенное значение имеет применение характеристических координат.
Интерес к математическому анализу усилился постановкой ряда новых геометрических задач в ходе развития дифференциальной геометрии. Решение этих задач приводило к уравнениям в частных производных первого порядка.
Таким образом, к концу рассматриваемого периода в теории дифференциальных уравнений накопилось сравнительно много частных результатов, которые необходимо было систематизировать.
3. Развитие основных понятий математического анализа в XVIII века
В развитии математики, механики, физики и всего естествознания в России и западноевропейских странах XVIII века особую роль сыграли труды величайшего математика и механика XVIII века Леонарда Эйлера.
Несмотря на то, что на протяжении предшествующих столетий механика и геометрия настоятельно ставили перед мыслителями задачи изучения зависимости между переменными величинами, понятие о взаимозависимости таких величин не получило аналитического выражения. Не только у Лейбница, но и у Даламбера понятие зависимости между переменными носило геометрический характер, так как они рассматривали зависимости между отрезками прямых. Введя само слово «функция», Лейбниц начиная с 1692 года называет им отрезки любых прямых, связанных тем или иным образом с точками определенной величины – флюенты, по его терминологии, служит некоторая равномерно текущая величина, аналогичная времени.
Между тем совокупность отдельных классов функций неуклонно увеличивалась. Существенно значение в этом процессе имело составление таблиц логарифмов, совершенствование таблиц тригонометрических функций, обусловленное, в частности, потреблениями геодезии и навигации.
Таким образом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятий функциональной зависимости, свободном от геометрического и механического облачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительный шаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»[4].
Эйлерово определение функции – это по сути определение функции комплексного переменного однако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняется содержание понятий «аналитическое выражение».
Именно здесь Эйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции при составление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые в результате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называет алгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение названных операций к элементарным трансцендентным функциям eⁿ, lnn, sinn, cosnприводит его к трансцендентным функциям[5].
Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая, таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего понимания непрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные на разных кусках интервала различными аналитическими выражениями[6].
Учитывая запас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер должен был получить функции аналитические в современном определении всюду, за исключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемые функции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, который мог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смысле современной теории функций комплексного переменного. Именно поэтому установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываются основными свойствами аналитических функций в смысле современного определения. Одно из этих свойств – представимость функции степенным рядом.
В более поздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно малом интервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривой определяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывных функций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими в смысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлерову трактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкого определения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе«Введение в анализ» (1748г.).
Содержанием второго тома является введение в область геометрических приложений анализа. Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться «никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии». Основную задачу он ставит в смысле изучения зависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область изменения аргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширению подвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, таки одна из важнейших проблем математической физики - задача о колебании струны – привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е. функций, «лишенных закона непрерывности». Задача колебания струны потребовала изучения «механических» кривых, или кривых, получаемых «свободным влечением руки».
Проблема колебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математического анализа не только в XVIII, но и XIX веке.
4. Дифференциальное исчисление
В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии необходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почетных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.
В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от механической и геометрической трактовки их. Новое исчисление требовало подхода, свободного от аппеляции к физике, механик и геометрии. Таким походом мог быть только аналитический. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа», - указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия[7].
В основе дифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. В этом отношении он следует первому учебнику анализа бесконечно малых Лопиталя (1696г.), написанному под большим влиянием И. Бернулли.
Разъясняя понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвести упреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью». Однако попытки логического обоснования основных начал анализа Эйлеру не удались. Существо этих попыток заключалось в построении «исчисления нулей». Прежде всего Эйлер вводит два способа сравнения нулей: арифметический и геометрический. При первом рассматривается разность нулей, при втором – их отношение.