Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия (стр. 12 из 15)

И квадрат длины вектора

, очевидно, вычисляются по формулам вида

, (3.13)

. (3.14)

За расстояние между двумя точками М(x₁, x₂, x₃) и N(y₁, y₂, y₃) по определению принимается длина вектора

, т. е.

. (3.15)

Величиной угла между векторами

и

называется число, определенное по формуле

.

Если векторы

,

одной природы, т. е. оба пространственные или временные, то . Более того, , если для х, у выполняется неравенство Коши и , если неравенство это не выполняется. Полагая в последнем случае , получим .

б) В псевдоевклидовом пространстве существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора. Здесь существуют также три вида плоскостей в зависимости от природы ее нормального вектора.

в) Подробнее рассмотрим вопрос о сферах. Сферой псевдоевклидова пространства П₃ называется множество точек этого пространства, отстоящих от данной точки А, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние r. Величина r называется радиусом сферы.

Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре сферы, убедимся в том, что координаты х₁, х₂, х₃ текущей точки сферы радиуса r удовлетворяют уравнению

_. (3.17')

Ясно, что первые два координатных вектора прямоугольной системы здесь предполагаются единичными, а третий вектор — мнимоединичным.

В псевдоевклидовом пространстве существуют три типа сферы вещественного, чисто мнимого и нулевого радиуса.

Уравнение сферы вещественного радиуса rсовпадает (3.17'), в котором величина rвещественная. Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, где kвещественное, то уравнение (3.17') приводится к виду

(3.17)

Если же сфера будет нулевого радиуса, то из (3.15) следует, что

_. (3.18)

Уравнение (3.18) в евклидовом пространстве является уравнением конуса, а предыдущие два - уравнениями гиперболоидов.

Ясно, что конус (3,18) состоит из асимптот сфер (3.17, 17'), имеющих центр в начале координат. Очевидно, асимптотический конус сферы совпадает с изотропным конусом ее центра. Из уравнения (3.15) следует также, что на сферах псевдоевклидова пространства имеются прямолинейные образующие - прямые целиком лежащие на сфере.

Очевидно, линией пересечения сферы с плоскостью является
окружность. Если секущая плоскость проходит через начало
Координат, то радиус окружности принимает значение, равное
радиусу сферы. Получаемые таким образом окружности сферы называются большими окружностями.

За сферическое расстояние

между двумя точками М (

), N (

) сферы принимаем расстояние по большой окружности, соединяющей данные точки.Очевидно, это расстояние равняется произведению радиуса сферы на значение угла, образованного радиусами векторами

, . Следовательно, сферическое расстояние определяется по формуле

. (3.19)

Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, то формула (3.19) приводится к виду

.

Геометрия Лобачевского

Убедимся теперь, что геометрия сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве является Двухмерной геометрией Лобачевского. Ограничиваясь лишь одной, например, верхней полой сферы, покажем, что во множестве ее точек и больших окружностей осуществляется планиметрия Лобачевского. Для простоты эти точки можно спроектировать из центра сферы на касательную к ней плоскость в точке N. Кривую пересечения касательной плоскости с изотропным конусом будем называть абсолютом.

При проектировании точки полусферы перейдут во внутренние точки круга, ограниченного абсолютом, а большие окружности - в хорды абсолюта. Очевидно, последние являются линиями пересечения плоскостей больших окружностей с внутренностью абсолюта. Инцидентность точек и прямых понимается в обычном смысле. Ясно, что в системе точек внутренности абсолюта и его хорд аксиомы 1,1 - 3 выполняются. Аналогично аксиомы II порядка и IV непрерывности переходят в истинные предложения геометрии касательной плоскости. Что касается аксиом III группы - аксиом конгруентности, то они также переходят в истинные предложения трехмерной псевдоевклидовой геометрии. При этом считаем конгруентными те отрезки (углы), которым на сфере чисто мнимого радиуса отвечают совмещающиеся при некоторых вращениях сферы дуги больших окружностей (углы между большими окружностями).

Выясним теперь, какая выполняется аксиома параллельности: V или V’.

Предположим, что нам дана на верхней полусфере большая окружность и не лежащая на ней точка. В связке прямых и плоскостей, центр которой совпадает с центром сферы, этой большой окружности и точке отвечают соответственно плоскость

и прямая a связки.

Очевидно, что через прямую а можно провести бесчисленное множество плоскостей связки, рассекающих полусферу по большим окружностям, не пересекающимися с данной большой окружностью. Таким образом в рассматриваемой модели выполняется аксиома параллельности Лобачевского. Другими словами, плоскостная геометрия Лобачевского совпадает с геометрией сферы чисто мнимого радиуса.

Эти рассуждения позволяют принять следующее общее определение n-мерных неевклидовых геометрий.

Неевклидовыми геометриями n-измерений называются геометрии, которые порождаются на n-мерных сферах, S_n вещественного или чисто мнимого радиуса в (n+1)-мерном евклидовом соответственно псевдоевклидовом пространстве. Предполагается также» что диаметрально противоположные точки этих сфер отождествлены, т. е. такие пары точек считаются за одну точку.

Из этого определения следует, что при возрастании nчисло типов неевклидовых пространств также растет. Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространств определенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класс пространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускает совокупность движений, зависящую от n(n+1)/2 параметров.

Очевидно, при n=2 получим эллиптическую плоскость и плоскость Лобачевского. Геометрия, этих плоскостей будет соответственно геометрией сферы евклидова пространства и геометрией сферы чисто мнимого радиуса в псевдоебклидовом пространстве.

Наша ближайшая задача — вывести основные формулы сферического треугольника (так называется треугольник на сфере, образованный тремя дугами больших окружностей). Эти формулы выражают основные математические соотношений в треугольниках геометрии Лобачевского.

а) Сначала докажем так называемую теорему косинусов. Предположим, что нам дан сферический треугольник с вершинами А(

), В (

), С (

), углами A, В, С и противолежащими сторонами соответственно а, b, с.

Очевидно, эти стороны связаны с радиус-векторами вершин сферического треугольника следующими равенствами

(3.21)

Предположим далее, что касательная плоскость к сфере в точке С пересекает радиусы ОА и ОВ в точках

и . Эти числовые множители , радиусов векторов точек A₁ и B₁ определяются совсем просто, если учесть ортогональность векторов , и , Действительно,