Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия (стр. 14 из 15)
Аналогично из треугольников ОВА1и А1ВС1следует, что
Исключая из этих трех соотношений ВС1и ВA1, получим формулу
совпадающую с соответствующей формулой для прямоугольного сферического треугольника в евклидовом пространстве. Выведем теперь теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABС в геометрии сферы в пространстве Лобачевского. Из треугольника ОВС1имеем
Аналогично из треугольников ОВА1и OA1C1соответственноследует, что
Исключая из полученных трех равенств отрезки ОС1и OA1 выводим
Эта формула совпадает с соответствующей формулой для прямоугольного треугольника обычной сферической геометрии. Указанным способом можно убедиться, что в целом геометрия сферы пространства Лобачевского совпадает с геометрией сферы евклидова пространства.
О геометрии Лобачевского в малом
Предположим теперь, что в треугольнике линейные размеры a, b, cмалы по сравнению с радиусом кривизны kпространства. Это предположение заведомо выполняется для треугольников с малыми линейными размерами или в пространстве достаточно малой кривизны 1/k2. Разлагая в степенные ряды гиперболические функции в формуле (3.26), выражающей теорему косинусов в геометрии Лобачевского, получим
Учитывая здесь члены до второго порядка малости включительно, будем иметь
a2 = b2 + c2 – 2 bccosA.
Эта зависимость между элементами треугольника выражает теорему косинусов в евклидовой геометрии. В случае прямоугольного треугольника cosA=0; следовательно,
a2 = b2 + c2
т. е. справедлива теорема Пифагора. Далее при наших предположениях синусы гиперболические в формуле (3.28) в первом приближении пропорциональны аргументам, поэтому
т. е. стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Последние три равенства позволяют утверждать, что формулы геометрии Лобачевского для фигур с малыми линейными размерами совпадают с соответствующими формулами евклидовой геометрии.
2.4 Различные модели плоскости Лобачевского. Независимость 5-го постулата Евклида от остальных аксиом Гильберта
В предыдущем параграфе познакомились с основными формулами двухмерной геометрии Лобачевского, которые в то же время были формулами геометрии сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве.
Эта сфера, по существу, есть одна из возможных моделей плоскости Лобачевского. Другая модель - модель Бельтрами-Клейна. Она получилась из первой модели путем центрального проектирования точек сферы на какую-нибудь ее касательную плоскость. Последняя, очевидно, будет евклидовой плоскостью.
Плоскость Лобачевского в модели Бельтрами-Клейна изображается в виде внутренности круга, причем прямые изображаются хордами. Пересекающиеся прямые изображаются пересекающимися хордами. Если общая точка будет стремиться по одной из прямых к бесконечности, то параллельные прямые будут изображаться хордами, общая точка которых принадлежит абсолюту (ограничивающей внутренность круга окружности). Наконец, сверхпараллельные прямые в рассматриваемой модели изображаются хордами, которые, будучи продолжены, пересекутся в точке, принадлежащей внешней области абсолюта.
Нетрудно убедиться, что пучок прямых первого рода при Данном отображении переходит в совокупность хорд, пересекающихся в общей точке, принадлежащей внутренности абсолюта. Пучок прямых второго рода, т. е. прямых, параллельных друг другу в данном направлении, переходит в совокупность хорд, пересекающихся в некоторой точке абсолюта. Наконец, пучок прямых третьего рода отображается в совокупность хорд, пересекающихся в некоторой точке вне абсолюта.Точки абсолюта называются бесконечно удаленными точками и точки вне абсолюта - идеальными точками плоскости Лобачевского. Поэтому пучки прямых второго и третьего родов называются иногда пучками с бесконечно удаленными или соответственно идеальными центрами.
Нетрудно убедиться также, что ось пучка прямых третьего рода является полярой полюса - своего идеального центра. В самом деле, допустим, что ось пучка не является полярой идеального центра. Предположим, например, что она не проходит через точку пересечения поляры точки Р сабсолютом. Тогда на плоскости Лобачевского будет существовать прямая СС1 одновременно перпендикулярная и параллельная к прямой СВ, что невозможно.
Перенося по отображению во внутренность абсолюта основные понятия отображаемой плоскости Лобачевского, в итоге получим так называемую модель Бельтрами-Клейна.
Ясно, что к модели Бельтрами-Клейна можно прийти непосредственной проверкой аксиом Гильберта I-IV и аксиомы параллельности Лобачевского во множестве точек внутренности круга и его хорд, вводя между ними соответствующим образом основные отношения. Точками и прямыми в этой модели являются внутренние точки абсолюта и его хорды без концов. „Инцидентность" точек и прямых, а также „между" для трех точек, принадлежащих одной прямой, понимаются в обычном смысле. Два отрезка (угла) считаются конгруентными, если они будут соответствующими при некотором взаимно однозначном точечном отображении расширенной (за счет добавления несобственной прямой) евклидовой плоскости, при котором абсолют остается неизменными „прямые" переходят в „прямые".
В модели Бельтрами-Клейна длины и углы искажаются, если рисунки 23, 24 понимать в евклидовом смысле.
В рассматриваемой модели через точку А, данную вне прямой а, можно провести прямые, которые пересекают прямую а; прямые АU, АV, параллельные а и, наконец, прямые b - сверхпараллельные, располагающиеся во внутренности заштрихованных вертикальных углов. В этой модели выполняются все аксиомы Гильберта, в том числе и аксиома Лобачевского. Расстояние d(А, В) между двумя точками A, В в модели Бельтрами-Клейна выражаются при помощи проективных понятий. Если хорда АВ пересекает абсолют в точках М, N, то
где (ABMN) обозначает двойное отношение указанных четырех точек (АМ: ВМ): (АN: BN). В самом деде, предположим, что
(4.1)является уравнением абсолюта в однородных координатах. Кроме того, по условию нам даны точки А(аi) и В(bi). Составляя уравнение прямой АВ, получим
(4.2)Чтобы найти точки пересечения М, N, прямой АВ с абсолютом, решим совместно систему уравнений (4.1) и (4.2) относительно неизвестных
. Вставляя из равенства (4.2) в уравнение (4.1), получим 
. (4.3)Развертывая более подробно левую часть (4.3), будем иметь
.Так как точка А (аi) не принадлежит абсолюту, т. е.
, то решая квадратное уравнение 
найдем следующие значений отношения
, для искомых точек: 
С другой стороны, как известно, двойное отношение четырех точек А, B, М, N равно двойному отношению, составленному из соответствующих значений параметра
, поэтому 
Но это равенство можно переписать в виде
(4.4)Вставляя в правую часть (4.4) найденные выражения
, 
и учитывая (3.21), получим 
Так как по определению