Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия (стр. 7 из 15)
Возьмем на сфере три точки А, В, С, не лежащие в одной плоскости с центром О данной сферы. Совокупность этих точек и дуг АВ, ВС и АС больших окружностей, меньших полуоборота, называется сферическим треугольником АВС. Точки А, В, С называются вершинами сферического треугольника, а дуги, АВ, ВС, АС — его сторонами. Углом А сферического треугольника АВС называется, угол между касательными, проведенными к дугам АВ и АС в точке их пересечения А. Очевидно, этот угол является линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями больших окружностей АВ и АС. Ясно, что сферический треугольник можно получить с помощью трехгранного угла, если пересечь его сферой, центр которой будет совпадать с вершиной данного угла. В самом деле, в пересечении сферы с гранями данного трехгранного угла получим сферический треугольник.
Из школьного курса геометрии известно, что в трехгранном угле любой его плоский угол меньше суммы двух других плоских углов и больше их разности. В геометрии сферы этому предложению соответствует следующая теорема. Во всяком сферическом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других его сторон и больше их разности.
На основании этой теоремы, как и в обычной планиметрии, доказывается, что в сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и, обратно, против большего угла лежит большая сторона.
В этой геометрии имеются сферические двуугольники — фигуры более простые, чем сферические треугольники. Сферический двуугольник, по определению, представляет часть сферы, ограниченную двумя большими полуокружностями, пересекающимися в двух диаметрально противоположных точках.
Симметрия сферы относительно диаметральной плоскости и поворот ее вокруг диаметра на данный угол, очевидно, представляют собой примеры преобразований сферы, при которых расстояния между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Приведем общее определение.
Преобразования сферы, при которых сохраняются расстояния между любыми двумя ее точками, называются движениями. Сферическая геометрия изучает свойства фигур, сохраняющиеся при любых движениях сферы.
Полярные треугольники
Всякая плоскость
, проходящая через центр сферы, пересекает эту сферу по большой окружности. Концы А, А' диаметра, перпендикулярного плоскости , называются полюсами этой окружности. В этом случае большая окружность называется полярой точек А и А'.Очевидно, все точки поляры удалены от своего полюса на расстояние, равное
R/2, где R обозначает радиус данной сферы. Ясно также, что если данная точка удалена от двух точек большой окружности на расстояние R/2, то она является полюсом этой большой окружности. Перейдем теперь к определению полярного треугольника.Если вершины треугольника АВС являются полюсами сторон другого сферического треугольника А1В1С1, то этот последний называется полярным треугольником по отношению к данному.
Таким образом, радиус-вектор
перпендикулярен векторам 
и 
, т. е. 
Аналогично будем иметь
Отсюда следует, что если треугольник А1В1С1 будет полярным к треугольнику АВС, то треугольник АВС в свою очередь будет полярным по отношению к треугольнику А1В1С1.
Таким образом, сферические треугольники АВС и А1В1С1, взаимно полярны друг другу.
Будем обозначать вершины и углы сферического треугольника большими буквами латинского алфавита А, В, С, а противоположные им стороны — соответствующими малыми буквами того же алфавита а, Ь, с. Вершины и противоположные им стороны полярного треугольника будем обозначать теми же буквами с индексами А1, В1, С1, соответственно a1, b1, c1.
Линейные элементы треугольника здесь и в дальнейших формулах входят в виде отношений к радиусу сферы, поэтому целесообразно ввести следующее понятие приведенной длины. Расстояние между двумя точками на сфере, отнесенное к ее радиусу, будем называть приведенным расстоянием.
Докажем следующее предложение о взаимно полярных треугольниках.
Теорема. Угол одного сферического треугольника и соответствующая ему приведенная сторона взаимно полярного треугольника дополняют друг друга до , т. е.
и т. д. Так как
(*)То из (*) следует, что
Таким образом, выводим
Аналогично доказываются остальные равенства:
Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии.
Формулы прямоугольного треугольника в сферической геометрии
Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии. Пусть в евклидовом пространстве нам дана сфера радиуса R. Возьмем на ней прямоугольный треугольник AВС со сторонами a, b, с, которые будут дугами больших кругов соответственно ВС, СА и АВ, причем условимся считать
(рис. 2). Последнее означает, что касательные в точке С, проведенные к большим дугам СА, СВ, перпендикулярны. Выясним связь между линейными и угловыми элементами данного прямоугольного треугольника.Опустим из точки В перпендикуляры ВС1, и ВА1на прямые ОС и ОА евклидова пространства. Из треугольника ОВС1, имеем
(*)Аналогично из треугольников OBA1и BA1C1 следует, что
(**)Исключая из этих трех соотношений BC1 и BA1, получим
(1.1)Формула (1.1) показывает, что синус приведенного катета равняется синусу приведенной гипотенузы, умноженному на синус противолежащего угла треугольника.
В предыдущем рассуждении основание С1, перпендикуляра ВС1, может совпадать с центром сферы или быть левее его на диаметре ОС. Но можно убедиться, что получаемые ниже формулы, как и формула (1.1), будут всегда справедливы. Кстати отмечу еще раз, что рассматриваются только такие сферические треугольники, которые определяются его вершинами и наименьшими дугами больших окружностей, попарно их соединяющими.
Выясним связь гипотенузы cс катетами а и b. Из треугольника ОВС1, имеем
(1.2)Далее из треугольника ОВА1и ОС1А1следует, что
Исключая из полученных трех равенств ОС1и ОА1будем иметь
. (1.3)Эта формула выражает теорему Пифагора: косинус приведенной гипотенузы прямоугольного треугольника равняется произведению косинусов приведенных катетов. Аналогичным образом выводятся другие формулы. Например, из прямоугольного треугольника А1ВС1следует, что
(1.4)Далее, так как
то из (1.2) имеем
(1.5)С другой стороны,
(1.6)Из (*, 1.4- 1.6) вытекает, что
(1.7)Наряду с этой формулой справедлива также парная формула
(1.7')Перемножая почленно последние два соотношения, получим
Отбрасывая ненулевые сомножители и применяя теорему Пифагора, окончательно будем иметь
(1.8)Возьмем теперь другое выражение А1С1 через соsA. Так как
то из (**) и (1.5-1.6), имеем
