Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия (стр. 9 из 15)
Все понятия плоскости S2 переводятся по отображению в некоторые понятия двухмерной проективной геометрии. Сопоставление соответствующих геометрических образов полученной проективной модели характеризуется следующей таблицей:
| «точка» | точка проективной плоскости |
| «прямая» | прямая проективной плоскости |
| «равенство отрезков» | равенство прообразов отрезков |
Большое достоинство проективной модели состоит в том, что точки и прямые в ней изображаются привычными для нас образами. Однако, при изучении свойств конгруентных фигур сферическая модель становится более удобной.
Заметим также, что прямые и плоскости связки О евклидова пространства определяют новую модель плоскости S2, соответствующие геометрические образы которой представляются следующей таблицей:
| S2 | Связка прямых и плоскостей в Е3 |
| «точка» | Плоскость связки |
| «разделение двух пар точек» | Разделение двух пар прямых одного и того же пучка прямых |
| «расстояние между двумя точками» | Величина, пропорциональная углу, между двумя прямыми связки |
Реализация эллиптической плоскости в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены, позволяет на этой плоскости ввести координаты (х, у, z), связанные соотношением
x2+y2+z2=R2;
где Rназывается радиусом кривизны, а обратная величина квадрата радиуса — кривизной. В этих координатах расстояние а между двумя точками А (х1, у1, z1) и В(х2, у2, z2) определяется по формуле
. (2.1)Отношение расстояния между точками к радиусу кривизны называется приведенным расстоянием. Две точки плоскости S2 называются полярными, если соответствующие этим точкам прямые трехмерного евклидова пространства ортогональны. Другими словами, полярные точки характеризуются тем, что приведенное расстояние между ними равняется
. Отрезок прямой, ограниченный полярно сопряженными точками, называется полупрямой. Прямая состоит из двух полупрямых и имеет длину, равную 
. Очевидно, геометрическое место точек, полярных данной точке А (х1, у1, z1), образует прямую
(2.1')Эта прямая называется полярой точки A, а точка А - полюсом прямой (2.1').
Прямые, перпендикулярные прямой, пересекаются в ее полюсе. Обратно, всякая прямая, проходящая через полюс данной прямой, будет перпендикулярной к этой прямой. Отсюда следует, что через каждую точку плоскости, отличную от полюса данной прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Эти свойства непосредственно вытекают из определения полюсов и поляр.
В геометрии S2 можно построить взаимно однозначное отображение между точками и прямыми, при котором каждой точке соответствует ее полярная прямая, а каждой прямой - ее полюс. Такое отображение называется полярным отображением. В эллиптической плоскости единичной кривизны полярное отображение переводит две прямые а, bв такие точки А, В, что расстояние между этими точками равняется углу между данными прямыми. Отсюда вытекает так называемый принцип двойственности в эллиптической планиметрии: если в какой-нибудь теореме эллиптической геометрии заменить слова «точка», «прямая», «расстояние» и «угол» соответственно на слова «прямая», «точка», «угол» и «расстояние», то в результате получим также справедливое предложение в этой геометрии. Примером двойственных предложений, т. е. предложений, получающихся одно из другого, указанного правила является следующее: любые две точки определяют прямую, им инцидентную; любые две прямые определяют точку, им инцидентную.
Найдем теперь расстояния между двумя бесконечно близкими точками М (х, у, z) и M’ (х + dх, у + dу, z + dz). Из формулы (2.1) следует, что
. (2.2)Откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка включительно имеем
ds=-2(xdx+ydy+zdz).
Учитывая, что координаты точки (х + dх, у + dу, z + dz) удовлетворяют равенству
(х + dх)2 +(у + dу)2+ (z + dz)2=R2,
будем иметь
2(хdх + уdу + zdz) + dx2 + dу2 + dz2 = 0.
ds2 = dx2 + dу2 + dz2. (2.2')
Полученная формула приводит к очевидному выводу о том, что в малом геометрия эллиптической плоскости совпадает со сферической геометрией. В частности, формулы (1.12) и (1.13) выражающие соответственно теорему косинусов и синусов, справедливы и в эллиптической геометрии. Формула 2.2' показывает также, что движения эллиптической плоскости S2 представляются вращениями и отражениями евклидова пространства E3 вокруг начала координат. Указанные движения определяются ортогональными матрицами. Так называются матрицы, у которых сумма квадратов элементов каждого столбца равняется единице, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равняется нулю. Так как матрицы, отличающиеся знаками, индуцируют одно и то же движение в эллиптической плоскости, то группа движений последней связана.
Площадь треугольников в эллиптической геометрии
Пусть в эллиптической плоскости дан треугольник AВС, обозначенной на рис. 8 номером I. Как известно, на данной плоскости порождаются еще три треугольника с теми же вершинами. Эти треугольники обозначены на рисунке номерами II, III, IV. Так как вcя эллиптическая плоскость конечна и имеет площадь, равную 2 R2 , то площадь части плоскости, ограниченной вертикальными углами А треугольника I, равняется
Аналогично, площадь частей эллиптической плоскости, ограниченных вертикальными углами В и С треугольника AВС, равны 2R2B, 2R2С. С другой стороны, сумма всех трех найденных площадей составляет площадь всей эллиптической плоскости с добавленной удвоенной площадью SАВСданного треугольника АВС. В результате получаем
.Отсюда вытекает, что
SАВС = R2(A + B + C - 
). (2.3)
Эта формула показывает, что площадь треугольника пропорциональна его дефекту. Можно доказать, что в геометрии Лобачевского площадь треугольника АВС определяется по формуле, аналогичной (2.3),
SАВС = k2( - A - B - C ),
где k— радиус кривизны.
Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек М(х, у, z), отстоящих от данной точки А(х1,у1,z1) на данное расстояние r. Точка A называется центром окружности, r - ее радиусом.
К понятию окружности можно прийти другим путем, отправляясь от пучков прямых и соответствующих точек на прямых данного пучка. Эти вспомогательные понятия здесь вводятся так же, как в геометрии Лобачевского. Совокупность прямых, пересекающихся в данной точке A, называется пучком прямых первого рода. Точка А называется центром пучка. Пучком прямых второго рода называются прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой а. Нетрудно убедиться, что эти пучки двойственны друг другу. В самом деле, поляра центра пучка прямых первого рода ортогонально пересекает все прямые пучка и рассматриваемая совокупность прямых является пучком прямых второго рода. Обратно, прямые пучка второго рода проходят через полюс оси пучка и составляют пучок прямых первого рода. Таким образом, всякий пучок прямых одновременно является пучком первого и второго рода. Предположим, что точки М и N лежат соответственно на прямых тиnданного пучка прямых. Эти точки М, N называются соответствующими, если отрезок МN образует равные односторонние углы с прямыми т и n. Простейшая кривая здесь определяется так же, как в планиметрии Лобачевского. Эта кривая по определению является множеством точек, соответствующих точке М на прямой т данного пучка. Полученная таким образом простейшая кривая одновременно является окружностью радиуса rс центром в точке А и эквидистантой с высотой r' = 
R/2 — r. Можно установить, что окружность ортогонально рассекает прямые своего пучка.