Разностные схемы для уравнений параболического типа (стр. 1 из 2)

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

,

,

, (3.5)

с условием на прямойt=0

,

. (3.6)

Требуется найти функцию

, которая при

и

удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при

выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение

, непрерывное вместе со своими производными

, i=1, 2 и

, k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде

. Для этого достаточно положить

Будем далее считать, что t изменяется в пределах

. В рассматриваемом случае

,

Г − объединение прямыхt=0иt=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область

сеточной областью

. К области

отнесем совокупность узлов

, где

,

,

,

,

,

,

.

Заменим задачу

разностной схемой вида

. Обозначим через

точное значение решения задачи

в узле

, а через

– соответствующее приближенное решение. Имеем

Для замены выражений

и

воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

, (3.7)

, (3.8)

, (3.9)

(3.10)

Назовем некоторую совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи

в узле

, разностной схемой

,шаблоном. Наиболее употребительные шаблоны изображены на рис. 3:

Рис. 3. Явный и неявный шаблоны

Рассмотрим явный двухслойный шаблон. Для него

(3.11)

Здесь мы воспользовались формулами (3.7) и (3.10) и обозначили

.

Введем обозначение

(3.12)

Теперь на основании формул (3.11), (3.12) можно записать разностную схему для задачи

:

, (3.13)

где разностный оператор

определяется по правилу

Аналогично, если использовать неявный двухслойный шаблон, можно получить такую разностную схему:

, (3.14)

где

На основании формул (3.11) и (3.13) можно записать

,

где

Аналогично, используя(3.11),(3.10),(3.14), получим

,

.

Выясним порядок аппроксимации разностных схем (3.13) и (3.14). В качестве

возьмем линейное множество всех пар ограниченных функций

.

Нормув

определим правилом

Пусть

, где rи s– некоторые положительные числа.

Предположим, что для

и

верны оценки

,

.

Тогда легко получить

, (3.15)

. (3.16)

Для параболических уравнений, как мы увидим далее, в случае схемы (3.13) можно взять S=2, а в случае схемы (3.14) можно взятьS=1.

Из формул (3.15), (3.16) следует, что разностные схемы (3.13), (3.14) аппроксимируют задачу

с погрешностью порядка Sотносительно h.

Разностная схема (3.13) позволяет по значениям решения на нулевом слое, то есть по значениям

вычислить значения на первом слое

. Для этого достаточно в (3.13) положить n= 0и произвести вычисления, носящие рекурсионный характер. Потом по значениям

можно аналогично при n= 1 вычислить значения

и т.д. В силу этого разностную схему (3.13) называют явной.

Разностная схема (3.14) такими свойствами не обладает. Действительно, если мы в (3.14) положим n= 0, то в левой части полученной формулы будет линейная комбинация из значений

, в правой части будут значения известной функции

и

. Для вычисления значений на первом слое

в этом случае необходимо решать бесконечную систему линейных уравнений. По этой причине схему (3.14) называют неявной.