Смекни!
smekni.com

Расчет вероятностей событий (стр. 2 из 3)

Ответ:

,
,

Задание №5

Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.


Решение:

Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения

По условию

и

Найти:

Для нормального распределения СВ X

где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид

.

Значения Ф(Х) – табулированы

Ответ:

Задание №6

Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.

Решение:

Пусть X – случайная величина расстояния, м

По условию

Найти:

Ответ:

Задание №7

При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.

Решение:

По условию задана выборка объемом

и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее
. Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания
, если доверительная вероятность должна быть равна

1. Доверительный интервал имеет общий вид

2. По условию

находим из решения уравнения

используя таблицу значений функции Лапласа

3. Находим значения концов доверительного интервала

.

.

Т.о., искомый доверительный интервал

, т.е.

Ответ:

Задание №8

При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.

Решение:

xi 1 2 3 4 5
mi 0,148 0,149 0,151 0,153 0,155

Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле:

- предельная ошибка малой выборки.

Учитывая, что

определим
табулированные значения
- критерия Стьюдента.

.

Таким образом,

.

Ответ: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088

Задание №9

При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2.

Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.

Решение:

Пусть

- гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.

При достаточно больших объемах выборки выборочные средние

и
имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием
и дисперсией
.

При выполнении гипотезы

статистика

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)

По данным задачи

В случае конкурирующей гипотезы

выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия

Т.о.

Табулированное значение

Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е.

, то гипотеза
отвергается, в противном случае – гипотеза
не противоречит имеющимся наблюдениям.

Т.к. наблюдаемое значение статистики

, а критическое значение
, то в силу условия
делаем ввод, что гипотеза
отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.

Задание №10

Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:



X
60 65 66 70 64
Y 72 71 80 78 69

Решение:

Пусть

- гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10

Вычислим

и