Расчет вероятностей событий (стр. 1 из 3)
Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:
а) ни на два, ни на три;
б) на два или на три?
Решение:
Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)
В-событие, что натуральное число делится на 3
p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)
а) С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Тогда вероятность события С:
Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3
б) D– событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3
.Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
Тогда вероятность события D:
.Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3
Задание №2
В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1, из винтовки типа 2 – р2.
Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?
Решение:
А – событие, что поражена мишень
Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.
и 
А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа
А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа
Для нахождения вероятности
применяют формулу 
2. Рn(k) – вероятность, что в n испытаниях событие наступит kраз находится по формуле Бернулли
.Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.
Задание №3
При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:
| Х(кг) | 2,5–2,7 | 2,7–2,9 | 2,9–3,1 | 3,1–3,3 | 3,3–3,5 | 3,5–3,7 | 3,7–4,3 |
| К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 |
Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.
Решение:
Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака
, и высотами, равными частотам 
интервалов.
Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.
Средней арифметической дискретного вариационного ряда
называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности: 
где
- варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, 
- соответствующие им частоты.Для каждого интервала найдем середины по формуле
. | Х(кг) | 2,5–2,7 | 2,7–2,9 | 2,9–3,1 | 3,1–3,3 | 3,3–3,5 | 3,5–3,7 | 3,7–4,3 |
 | 2,6 | 2,8 | 3 | 3,2 | 3,4 | 3,6 | 4 |
| К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 |
Ответ: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.
По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.
Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.
Решение:
1. Проранжируем[1] исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд
2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса:
n = 1+3,322 * lgN
где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности
Для данных задачи n= 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп
Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.
3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:
Середины интервалов
Средняя арифметическая
где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.Дисперсия 
.
Среднее квадратическое отклонение 
.
| № | Значения | № группы | Интервалы | Частота | |
| 1 | 1 | нач | кон | ||
| 2 | 2 | 1 | 1,0 | 5,5 | 3 |
| 3 | 5 | 2 | 5,5 | 10,0 | 5 |
| 4 | 7 | 3 | 10,0 | 14,5 | 15 |
| 5 | 9 | 4 | 14,5 | 19,0 | 17 |
| 6 | 10 | 5 | 19,0 | 23,5 | 2 |
| 7 | 10 | 6 | 23,5 | 28,0 | 3 |
| 8 | 10 | ||||
| 9 | 11 | ||||
| 10 | 11 | ||||
| 11 | 11 | ||||
| 12 | 12 | ||||
| 13 | 12 | ||||
| 14 | 13 | ||||
| 15 | 13 | ||||
| 16 | 14 | ||||
| 17 | 14 | ||||
| 18 | 14 | ||||
| 19 | 14 | ||||
| 20 | 14 | ||||
| 21 | 14 | ||||
| 22 | 14 | ||||
| 23 | 14 | ||||
| 24 | 15 | ||||
| 25 | 15 | ||||
| 26 | 15 | ||||
| 27 | 15 | ||||
| 28 | 15 | ||||
| 29 | 15 | ||||
| 30 | 15 | ||||
| 31 | 16 | ||||
| 32 | 16 | ||||
| 33 | 16 | ||||
| 34 | 17 | ||||
| 35 | 17 | ||||
| 36 | 17 | ||||
| 37 | 18 | ||||
| 38 | 18 | ||||
| 39 | 19 | ||||
| 40 | 19 | ||||
| 41 | 20 | ||||
| 42 | 22 | x min | 1 | ||
| 43 | 24 | x max | 28 | ||
| 44 | 26 | h | 4,5 | ||
| 45 | 28 | ||||
| № группы | Интервалы | Частота | Промежуточные вычисления | |||||
| нач | кон | сер | ni | xcp*ni | (x-Xcp) | (x-Xcp)2 | ni*(x-Xcp)2 | |
| 1 | 1,0 | 5,5 | 3,25 | 3 | 9,75 | -10,9 | 118,81 | 356,43 |
| 2 | 5,5 | 10,0 | 7,75 | 5 | 38,75 | -6,4 | 40,96 | 204,80 |
| 3 | 10,0 | 14,5 | 12,25 | 15 | 183,75 | -1,9 | 3,61 | 54,15 |
| 4 | 14,5 | 19,0 | 16,75 | 17 | 284,75 | 2,6 | 6,76 | 114,92 |
| 5 | 19,0 | 23,5 | 21,25 | 2 | 42,50 | 7,1 | 50,41 | 100,82 |
| 6 | 23,5 | 28,0 | 25,75 | 3 | 77,25 | 11,6 | 134,56 | 403,68 |
| | 45 | 636,75 | | 1234,80 | ||||
 | 14,15 | S2 | 27,44 | |||||
| | 5,24 | |||||||
Среднее значение
Дисперсия 
Среднее квадратическое отклонение 