Основы теории вероятности (стр. 5 из 9)
P(А/H1) = 1 (событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20}, является достоверным).
(вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна 16/20, на 2-й – 15/19, на 3-й – 14/18). 
По формуле (4.2) имеем:
Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.
Раздел 5. Случайные величины (с.в.)
5.1 Дискретные случайные величины
Дискретной случайной величиной называют случайную величину, возможные значения которой есть изолированные числа (число их может быть конечным или бесконечным для счетного множества).
Зависимость вероятностей от возможных значений с.в. есть закон распределения дискретной с.в., который может быть представлен в виде ряда распределения, многоугольника распределения, функции распределения с.в.При этом название закона распределения диктует формула, по которой вычисляются вероятности, соответствующие возможным значениям С.В. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся на практике:
-биномиальный закон распределения дискретной с.в. X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p. Вероятность возможного значения Х= k по формуле Бернулли равна:
(5.1)-если n велико, а p в каждом испытании очень мало, то используется приближённая формула (распределение Пуассона):
, 
np (5.2)Здесь
.-если вероятность появления события А в каждом испытании p (
), а Х – число испытаний до появления события А в серии независимых повторных испытаний, то пользуются формулой: 
(5.3)Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q<1 и суммой, равной единице. Такое распределение называется геометрическим;
-в задачах статистического контроля качества часто используется гипергеометрический закон распределения дискретной с.в. При этом применяется формула:
(5.4)Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m элементов определённого свойства (напр., среди n деталей ровно m бракованных), отбираются случайным образом k элементов. P(X=l) – это вероятность того, что среди k отобранных элементов ровно l элементов с определённым свойством.
-Кроме указанных законов распределения, на практике используются числовые характеристики с.в.:
- математическое ожидание M(X);
- дисперсия D(X);
- среднее квадратическое отклонение
X). 
(5.5) 
(5.6) 
(5.7) 
(5.8)Для биномиального распределения (формула (5.1)) имеем:
M(X)=np (5.9)
D(X)=npq (5.10)
Для распределения Пуассона (формула (5.2)):
M(Х)=D(Х)=np=
(5.11)Задачи
Задача №57. В партии из 6-ти деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределения дискретной с.в. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики с.в. Х.
Решение. Имеем гипергеометрический закон распределения с.в. Х:
Возможные значения Х:
Соответствующие вероятности вычисляются по формуле (5.4):
= 
Имеем ряд распределения:
| Х: |  | 0 | 1 | 2 | 3 |
 | 0 |  |  | |
Многоугольник распределения.
рис.3
Функцией распределения F(х) называется вероятность того, что с.в. Х в результате испытаний примет значение, меньшее х: F(x)=P(X<x)
В нашем случае имеем:
если х
1, то F(x)=0,если 1<x
2, то F(x)= ,если 2<x
3, то F(x)= 
если х>3, то F(x)=
.График этой функции на рис.4.
рис.4
Математическое ожидание (по формуле (5.5)):
Дисперсия (по формуле (5.7)):
Среднее квадратическое отклонение (по формуле (5.8 )):
Задача №58. В денежной лотерее 100 билетов, из них 1 составляет выигрыш в 50 грн, 10 – в 1 грн. Составить закон распределения с.в. Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Вероятность выигрыша 1 грн равна
,аналогично получим
, 
.Имеем ряд распределения с.в. Х:
| | 0 | 1 | 50 |
| | 0,89 | 0,1 | 0,01 |
Многоугольник распределения с.в. Х:
рис.5
Функция распределения.
рис.6
Задача №59. Среди 20-ти изделий 5 бракованных. Случайным образом выбираются 3 изделия для проверки их качества. С.в. Х – число бракованных изделий. Построить ряд распределения Х, найти М(Х), D(X), если Х=0,1,2,3.
Решение.
Имеем ряд распределения с.в. Х.
 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| |  |  |  |  |
Х:
Задача №60. Вероятность того, что расход воды на некотором предприятии окажется нормальным (не более определённого числа литров в сутки), равна
. Найти вероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение 1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти дней.