Основы теории вероятности (стр. 6 из 9)
Решение. Пусть с.в. Х – число дней, в течение которых расход воды будет нормальным. Тогда вероятности, соответствующие возможным значениям Х (от 1 до 6), будут вычисляться по формуле Бернулли (5.1) и распределение с.в. Х будет биномиальным.
Примечание: при вычислениях вероятностей удобно использовать формулу
Строим ряд распределения с.в. Х.
| Х |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
 | 0,004 | 0,033 | 0,132 | 0,297 | 0,356 | 0,178 |
Строим многоугольник распределения с.в.Х.
рис.7
Очевидно, что наиболее вероятен перерасход воды в течение одного или двух дней из 6-ти.
Наиболее вероятным является нормальный расход воды в течение 5-ти дней:
Р(Х=5)=0,356.
называется модой ( 
) с.в. Х.Строим функцию F(x) распределения с.в. Х.
рис.8
Функция распределения аналитически может быть записана так:
F(x)
Задача №61. Игральная кость брошена три раза. Построить ряд и функцию распределения с.в. Х – возможного числа появления шестёрок.
Решение. Имеем схему Бернулли с
, 
, n=3. 
; 
. 
Ряд распределения Х имеет вид:
 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| |  |  |  |  |
Функция F(х) распределения с.в. Х имеет вид:
F(х)=
Строим график:
рис.9
Задача №62. Подлежат исследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе равна р=0,09. Найти математическое ожидание и дисперсию числа проб с промышленным содержанием металла.
Решение. Пусть с.в. Х – число проб с промышленным содержанием металла, тогда c.в. Х распределена по биномиальному закону.
Математическое ожидание вычисляем по формуле (5.9), дисперсию, соответственно, по формуле (5.10 ):
.Задача №63. Тираж учебников составляет
экземпляров. Вероятность неверного брошюрования учебника равна 
Записать ряд бракованных учебников среди данного тиража для возможных значений Х от 1 до 5.Решение. Здесь
По формуле (5.2) мы получим все интересующие нас вероятности:
Имеем ряд распределения с.в. Х (закон Пуассона).
| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| |  |  |  |  |  |  |
Так,
(принимаем 
).Математическое ожидание числа бракованных экземпляров среди 10 книг при
равно:
Задача №64. Вероятность того, что с конвейера сойдёт k бракованных деталей равна
. Построить ряд распределения для с.в. k и найти её математическое ожидание.Замечание. для решения этой задачи понадобятся первоначальные сведения из теории рядов, или, по крайней мере, знание бесконечной убывающей прогрессии.
Решение.
1. Строим ряд распределения с.в. k – числа бракованных деталей с конвейера (геометрический закон).
| K: |  | 1 | 2 | 3 | 4 | … | n | … |
| | 0,3 |  |  |  | … |  | … |
2.
Мы получим М(Х), если бесконечная сумма – ряд сходится.
Воспользуемся признаком Даламбера для знакоположительных рядов.
ряд сходится и М(Х) – его сумма.Для её нахождения применим искусственный приём:
+
. . . 
Примечание. Каждая бесконечная сумма в скобках в правой части равенства для М(Х) вычисляется по формуле для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии (
).Задача №65. Мишень вращается вокруг оси Ох. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различить цифры. Стреляет наугад. Секторы одинаковы. Выигрыш соответствует номеру сектора.
Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 грн?