Основы теории вероятности (стр. 7 из 9)

Решение.

рис.10

Х:		1	2	3	4	5	6	7	8

Вероятности всех возможных значений Х равны между собой и равны

Найдём

.

Стоимость выстрела 5 грн. Очевидно, стрелять много раз невыгодно.

Задача №66. Дискретная с.в. Х принимает только 3 возможных значения: 1,

, . ( ).

Найти закон распределения с.в. Х, если

М(Х)=2,2 и D(X)=0,76.

Решение.

1. Запишем ряд распределения для Х, найдя предварительно

2.

Х:		1
		0,3	0,2	0,5

2. Запишем равенства для математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X):

Получим нелинейную систему двух уравнений с двумя неизвестными

и . Решим её.

Х:		1	2	3
		0,3	0,2	0,5

5.2 Непрерывные случайные величины

Непрерывной случайной величиной называют величину, которая может принимать любое числовое значение из некоторого конечного (a,b) или бесконечного интервала.

Множество возможных значений такой величины бесконечно.

Примером таких величин являются: величина ошибки при измерении расстояний, веса и др.; время бессбойной работы прибора, размеры детали, рост человека при обследовании определённой группы людей и др.

Закон распределения непрерывной с.в. имеет две формы:

интегральная функция распределения F(x) и дифференциальная функция распределения f(x).

-Как и в случае с дискретной с.в., интегральная функция распределения F(x) имеет вид:

F(x)=P(X<x) (5.12)

Но в отличие от ступенчатой линии для F(x) в случае с дискретной с.в. для непрерывной с.в. имеем непрерывную кривую для F(x).

Свойства F(x):

1) 0

F(x) 1;

2) если

> , то F( ) F( );

3) P(a<X<b)=F(b)-F(a); (5.13)

4) P(X=

)=0;

5) если Х

(a,b), то ;

6)

.

-Дифференциальная функция распределения f(x) (плотность вероятности) есть производная от интегральной функции:

f(x)=

P(a<x<b)=

(5.14)

(f(x)dx называется элементом вероятности)

F(x)=

(5.15)

Свойства f(x):

1) f(x)

;

2)

(5.16)

3)

(

Наиболее употребимыми являются следующие законы распределения непрерывной с.в. (задаются они формулой для f(x)):

-равномерное распределение вероятностей

Пусть [a,b] – шкала некоторого прибора. Вероятность p попадания указателя в некоторый отрезок шкалы [

, ] равна p=k( - ), (k>0).

Тогда, так как

p(a<x<b)=1, то k(b-a)=1

k=

p( <x< )= F(x)=p(a<X<x)= (5.17)

График F(x) на рисунке 11.

рис.11

f (x)=

(5.18)

рис.12

-показательное распределение

(5.19)

F(x)=

(5.20)

-нормальное распределение

(5.21)

F(x)=

(5.22)

Здесь a=M(x),

- параметры распределения с.в.Х.

График f(x) представлен на рис.13 и называется нормальной кривой (кривой Гаусса).

рис.13

При a=0,

имеем плотность нормированного распределения:

Эта функция табулирована (см. приложение 1), график её на рис.14.

рис.14

В этом случае интегральная функция распределения с.в.Х есть функция Лапласа:

(5.23)

График функции Лапласа Ф(х) на рис.15.

рис.15

Из него видно, что:

1) Ф(0)=0,

2) Ф(-х)=-Ф(х),