Основы теории вероятности (стр. 8 из 9)
3)
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (c,d), находим по формуле:
(5.24)Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа, равна:
, (5.25)(
)При а=0 справедливо равенство:
(5.25а)- Числовые характеристики непрерывной с.в.:
- математическое ожидание M(X)
(5.26) 
(5.27)- дисперсия D(X)
(5.28) 
(5.29)Эти равенства можно заменить равносильными равенствами:
(5.30) 
(5.31)- среднее квадратическое отклонение
(5.32)При этом для равномерного распределения:
(5.33) 
(5.34) 
(5.35)Для показательного распределения
: 
(5.36); 
(5.37); 
(5.38).Для нормального распределения:
M(X)=a (5.39);
(5.40); 
(5.41).Задачи
Задача №67. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очередной автобус менее 3-х минут.
Решение. Пусть с.в. Т –время ожидания очередного автобуса – непрерывная случайная величина. Она распределена по равномерному закону с плотностью:
(см. формулу (5.18) )В нашем случае
0<t<5
По формуле (5.14) имеем:
Искомая вероятность
p=0,6.
Задача №68. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округлены до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будет сделана ошибка, не превышающая 0,04 (событие А).
Решение. Ошибку округления отсчёта можно рассматривать как с.в. Х, которая распределена равномерно в интервале между 2-мя соседними целыми делениями с плотностью
, 
Ошибка отсчёта не превысит 0,04, если она будет заключена в (0; 0,04) или в(0,16;0,2). По формуле (5.14) имеем:
Искомая вероятность
р=0,4.
Задача №69. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичское отклонение с.в. Х, распределённой равномерно в интервале (2,8).
Решение. По формулам (5.32)-(5.34) получим:
.Задача №70. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону, заданному при
дифференциальной функцией 
; при х<0 
Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (0,3; 1).Решение. Исходя из формулы (5.19),
Пользуясь формулой (5.14), получим:
.Искомая вероятность приближённо равна 0,414.
Задача №71. Непрерывная с.в. Х распределена по показательному закону
.Найти числовые характеристики с.в. Х и вероятность того, что в результате испытания Х попадёт в интервал (2,5).
Решение.
1) Из формул (5.36)-(5.38) получим:
2) Из формулы (5.14) следует, что:
.Задача №72. Задана плотность распределения количества прибыли Х:
Найти коэффициент a и вероятность получения величины прибыли Х из отрезка [0,5; 1] млн.гр
Решение.
1) В соответствии с определением модуля х:
– имеем:
3) Используя формулу (5.16) и свойство аддитивности несобственного интеграла, получаем:
рис.16
.4) Используя формулу (5.14), получим:
Примечание. Подынтегральная функция
, т.к. отрезок [0,5; 1] принадлежит положительной части оси Ох.Ответ:
Задача №73. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределения случайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (15,25).
Решение. Воспользуемся формулой (5.24). Подставив
c=15, d=25, a=20,
,получим:
По таблице (приложение 2) находим Ф(1)=0,3413
Ответ:
Задача №74. Контролируется длина Х выпускаемой детали, которая распределена нормально с математическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длина детали не менее 32 мм и не более 68 мм.
Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали:
а) больше 55 мм;
б) меньше 40 мм.
Решение.
1) Событие
является достоверным 
С другой стороны, по формуле (5.24):
Приравниваем правые части равенств для
=1 
Теперь имеем: математическое ожидание с.в. Х а=50, среднее квадратическое отклонение
2) Найдём
0,0823.3)
