Основы теории вероятности (стр. 9 из 9)
Задача №75. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы выполнялось равенство:
?Решение. Согласно формуле (5.25) имеем:
Из таблицы Ф(х) (приложение 2) находим:
Мы получили "правило 3-х сигм": вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормально распределённой случайной величины будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Ответ: (а-3
, а+3 ).Задача№76. Станок автомат изготавливает детали, длина которых по стандарту может отклоняться от 125 мм не более, чем на 0,5 мм. Среди продукции станка 7% нестандартной.
Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение, найти их дисперсию.
Решение. Пусть с.в. Х – длина детали, а=М(Х)=125.
Из условия:
Согласно формуле (5.24) имеем:
Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:
Искомая дисперсия
D(X)= 
Задача №77 ("из жизни хищников").
Для некоторого хищника вероятность удачной охоты равна 0,4 при каждом столкновении с жертвой.
Найти математическое ожидание с.в. Х – числа пойманных жертв при 20-ти столкновениях.
Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному закону при п=20, р=0,4.
Согласно формуле (5.9), имеем:
Приложение 1
Таблица значений функции
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
| 0,00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,11,21,31,41,51,61,71,81,92,02,12,22,32,42,52,62,72,82,93,03,13,23,33,43,53,63,73,83,9 | 0,39893970391038143683352133323123289726610,24202179194217141497129511090940079006560,05400440035502830224017501360104007900600,0044003300240017001200090006000400030002 | 3989396539023802366835033312310128742637239621551919169114761276109209250775064405290431034702770219017101320101007700580043003200230017001200080006000400030002 | 3989396138943790365234853292307928502613237121311895166914561257107409090761063205190422033902700213016701290099007500560042003100220016001200080006000400030002 | 3988395638853778363734673271305628272589234721071872164714351238105708930748062005080413033202640208016301260096007300550040003000220016001100080005000400030002 | 3986395138763765362134483251303428032565232320831849162614151219104008780734060804980404032502580203015801220093007100530039002900210015001100080005000400030002 | 3984394538673752360534293230301127802541229920591826160413941200102308630721059604880396031702520198015401190091006900510038002800200015001000070005000400020002 | 398239393857373935893410320929892756251622752036180415821374118210060848070705840478038703100246019401510116008800670050003700270020001400100007000500030002000 | 3980393238473726357233913187296627322492225120121781156113541163098908330694057304680379030302410189014701130086006500480036002600190014001000070005000300020002 | 3977392538363712355533723166294327092468222719891756153913341145097308180681056204590371029702350184014301100084006300470035002500180013000900070005000300020001 | 3973391838253697353833523144292026852444220319651736151813151127095708040669055104490363029002290180013901070081006100460034002500180013000900060004000300020001 |
Приложение 2
Таблица значений функции
| х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) |
| 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,290,300,310,32 | 0,00000,00400,00800,01200,01600,01990,02390,02790,03190,03590,03980,04380,04780,05170,05570,05960,06360,06750,07140,07530,07930,08320,08710,09100,09480,09870,10260,10640,11030,11410,11790,12170,1255 | 0,330,340,350,360,370,380,390,400,410,420,430,440,450,460,470,480,490,500,510,520,530,540,550,560,570,580,590,600,610,620,630,640,65 | 0,12930,13310,13680,14060,14430,14800,15170,15540,15910,16280,16640,17000,17360,17720,18080,18440,18790,19150,19500,19850,20190,20540,20880,21230,21570,21900,22240,22570,22910,23240,23570,23890,2422 | 0,660,670,680,690,700,710,720,730,740,750,760,770,780,790,800,810,820,830,840,850,860,870,880,890,900,910,920,930,940,950,960,970,98 | 0,24540,24860,25170,25490,25800,26110,26420,26730,27030,27340,27640,27940,28230,28520,28810,29100,29390,29670,29950,30230,30510,30780,31060,31330,31590,31860,32120,32380,32640,32890,33150,33400,3365 | 0,991,001,011,021,031,041,051,061,071,081,091,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,201,211,221,231,241,251,261,271,281,291,301,31 | 0,33890,34130,34380,34610,34850,35080,35310,35540,35770,35990,36210,36430,36650,36860,37080,37290,37490,37700,37900,38100,38300,38490,38690,38830,39070,39250,39440,39620,39800,39970,40150,40320,4049 | 1,321,331,341,351,361,371,381,391,401,411,421,431,441,451,461,471,481,491,501,511,521,531,541,551,561,571,581,591,601,611,621,631,64 | 0,40660,40820,40990,41150,41310,41470,41620,41770,41920,42070,42220,42360,42510,42650,42790,42920,43060,43190,43320,43450,43570,43700,43820,43940,44060,44180,44290,44410,44520,44630,44740,44840,4495 |
| х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) | х | Ф(х) |
| 1,651,661,671,681,691,701,711,721,731,741,751,761,771,781,791,801,811,821,83 | 0,45050,45150,45250,45350,45450,45540,45640,45730,45820,45910,45990,46080,46160,46250,46330,46410,46490,46560,4664 | 1,841,851,861,871,881,891,901,911,921,931,941,951,961,971,981,992,002,022,04 | 0,46710,46780,46860,46930,46990,47060,47130,47190,47260,47320,47380,47440,47500,47560,47610,47670,47720,47830,4793 | 2,062,082,102,122,142,162,182,202,222,242,262,282,302,322,342,362,382,402,42 | 0,48030,48120,48210,48300,48380,48460,48540,48610,48680,48750,48810,48870,48930,48980,49040,49090,49130,49180,4922 | 2,442,462,482,502,522,542,562,582,602,622,642,662,682,702,722,742,762,782,80 | 0,49270,49310,49340,49380,49410,49450,49480,49510,49530,49560,49590,49610,49630,49650,49670,49690,49710,49730,4974 | 2,822,842,862,882,902,922,942,962,983,003,203,403,603,804,004,505,00 | 0,49760,49770,49790,49800,49810,49820,49840,49850,49860,498650,499310,499660,4998410,4999280,4999680,4999970,499997 |
Литература
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика для економістів. Теорія імовірностей та математична статистика – К.: 1999 – 447с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.: Наука – 1969 – 400с.
3. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбінаторики – М.: Наука – 1977.
4. Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики. Практикум – К.: "Выща школа" – 1989.
5. Жалдак М.І. початки теорії ймовірностей – К.: Рад.шк.. – 1978 – 144с.