Открытые сети с многорежимными стратегиями обслуживания и информационными сигналами (стр. 2 из 7)

В начале XX века датский ученый А.К.Эрланг, работавший на копенгагенской телефонной станции, поставил и решил ряд новых математическтх задач, позволивших оценивать характеристики телефонных и телеграфных линий связи. Это способствовало возникновению нового направления в теории вероятностей - теории массового обслуживания. На начальной стадии своего развития теория массового обслуживания имела дело с системами массового обслуживания, которые описываются потоками однородных заявок, поступающих в систему, процедурами обслуживания с помощью одного или нескольких каналов, процедурами формирования очередей и способами организации процесса ожидания заявок. Строгое научное описание случайных процессов в теории массового обслуживания и их всестороннее исследование впервые было осуществлено А.Я.Хинчиным. Он исследовал одноканальную систему с ожиданием, простейшим входным потоком и рекуррентным обслуживанием, установив для нее так называемый основной закон стационарной очереди: стационарное распределение числа заявок в системе совпадает с их стационарным распределением в случайные моменты ухода заявок из системы. Большой вклад в развитие теории массового обслуживания внесли Ю.К.Беляев, А.А.Боровков, Б.В.Гнеденко, Н.Джейсуолл, Дж.Р.Джексон, Ф.П.Келли, Дж.Кендалл, Дж.Ф.С.Кингмэн, Л.Клейнрок, Г.П.Климов, И.Н.Коваленко, С.Пальм, Ф.Поллачек, Ю.В.Прохоров, Дж.Риордан, Т.Саати, В.Л.Смит и др.

В 1957г. Дж.Р.Джексон впервые ввел в рассмотрение понятие открытой сети массового обслуживания ([99]), а в 1967г. Гордон и Ньюэлл ввели аналогичное понятие замкнутой сети ([91]). В отличие от системы массового обслуживания сеть представляет собой более сложное образование, состоящее из систем массового обслуживания, называемых узлами сети, которые взаимодействуют между собой с помощью некоторого вероятностного механизма. В открытых сетях заявки могут поступать извне, а также уходить из сети. В замкнутых сетях сохраняется постоянное число заявок, которые с помощью случайной маршрутизации могут перемещаться между узлами сети; при этом поступление заявок в сеть и уход заявок из сети невозможны.

Результаты Джексона и Гордона-Ньюэлла не использовались до тех пор, пока в 1971г. Ф.Р.Мур [115] не обнаружил, что замкнутые сети адекватно описывают вычислительные системы со многими ресурсами. С этого момента теория сетей обслуживания стала быстро развиваться благодаря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ. Дополнительный толчок к дальнейшему развитию теории дала разработка и использование в повсеместной практике различных глобальных и локальных сетей таких, например, как EZERNET, INTERNET и т.д. Значительный вклад в развитие теории сетей внесли Г.П.Башарин, А.А.Боровков, Э.Геленбе, Дж.Джексон, В.А.Ивницкий, Ф.П.Келли, Д.Кениг, Л.Клейнрок, Ю.В.Малинковский, М.Миязава, Б.Меламед, Р.Мюнтц, С.Е.М.Перс, П.К.Поллетт, А.Н.Рыбко, Р.Серфозо, Ю.М.Сухов, П.Тейлор, А.Л.Толмачев, Д.Тоусли, П.Уиттли, Дж.Уолрэнд, Г.И.Фалин, В.Хендерсон, Х.Чао, К.Ченди, Р.Шассбергер и многие другие.

Состояние сети массового обслуживания обычно характеризуется вектором, координаты которого описывают состояния отдельных узлов сети. В силу многомерности случайного процесса состояний и статистической зависимости между координатами исследование сетей массового обслуживания на порядок сложнее, чем исследование систем массового обслуживания. Даже в случае экспоненциальных сетей, когда случайный процесс состояний является марковским, его эргодическое стационарное распределение удовлетворяет настолько сложной системе уравнений, что решить ее удается в основном только тогда, когда решение имеет форму произведеня. Множители в этом произведении зависят только от свойств индивидуальных узлов. В имеющейся литературе по стационарному распределению экспоненциальных сетей практически не рассматриваются сети с ненадежными или частично ненадежными приборами. В считанных работах рассмотрены только очень частные вырожденные случаи и то для сетей, состоящих из двух узлов. В то же время в практических ситуациях оборудование может частично или полностью выходить из строя. Например, при работе на персональном компьютере очень часто нарушаются функциональные связи между некоторыми файлами, программами или другими элементами, хотя компьютер продолжает работать. Налицо частичная потеря работоспособности, а значит, уменьшение интенсивности обслуживания.

Поэтому в данной работе предпринята попытка построения моделей, адекватно описывающих такую ситуацию. Рассмотрены экспоненциальные сети с многорежимными стратегиями обслуживания, в которых обслуживающие устройства в узлах частично ненадежны и в различных режимах функционирования работают с разными интенсивностями. Для таких сетей находится инвариантная вероятностная мера в мультипликативной форме.

1. ОТКРЫТЫЕ СЕТИ С МНОГОРЕЖИМНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ

Рассматривается открытая сеть массового обслуживания с экспоненциальным обслуживанием в узлах и марковской маршрутизацией, в которую поступают два независимых между собой пуассоновских стационарных потока: обычных (положительных) заявок, требующих обслуживания в узлах, и так называемых отрицательных заявок, которые не обслуживаются и могут удалять из узлов заявки (

-сеть). Положительная заявка после обслуживания может с некоторой вероятностью трансформироваться в отрицательную. Однолинейные узлы могут работать в нескольких режимах, время переключения с одного режима на другой имеет показательное распределение с параметром, зависящим от состояния узла. Переключение происходит только на соседние режимы. Устанавливается условие эргодичности и находится стационарное распределение состояний сети в мультипликативной форме.

Постановка задачи.

В главе 2 рассматривалась открытая сеть с многорежимными стратегиями обслуживания, в которой приборы могут частично выходить из строя, работая при этом в "щадящем" режиме. В 4.1 рассматривается аналогичная сеть при упрощающем предположении, состоящем в том, что интенсивности обслуживания в узле не зависят от его состояния. Однако добавляется возможность поступления в сеть так называемых отрицательных заявок и возможность трансформирования обычных (положительных) заявок в отрицательные, что существенно усложняет задачу, превращая, в частности, линейные уравнения трафика в нелинейные.

В сеть, состоящую из

однолинейных узлов, поступают два независимых стационарных пуассоновских потока: положительных заявок с параметром и отрицательных заявок с параметром . Отрицательные заявки в отличие от обычных (положительных) заявок не требуют обслуживания, а поступление отрицательной заявки в узел уменьшает число заявок в нем на единицу, если число заявок в узле больше нуля, и не производит никаких изменений, если в узле нет заявок. После указанных операций отрицательные заявки исчезают и в дальнейшем не оказывают влияния на сеть. Каждая заявка входного потока положительных заявок независимо от других заявок с вероятностью направляется в -й узел, а каждая заявка входного потока отрицательных заявок независимо от других заявок с вероятностью направляется в -й узел . Положительная заявка, обслуженная в -м узле, мгновенно направляется в -й узел, с вероятностью оставаясь положительной и с вероятностью превращаясь в отрицательную, или покидает сеть с вероятностью В -м узле находится единственный прибор, который может работать в режимах. Состояние -го узла характеризуется парой чисел , где - число положительных заявок в -м узле, - номер режима, в котором работает прибор в -м узле . Длительность обслуживания прибором -го узла положительных заявок имеет показательное распределение с параметром . Назовем 0 основным режимом работы. Время пребывания в основном режиме работы имеет показательное распределение с параметром , после чего прибор переходит в режим 1. Для состояний , у которых , время пребывания в режиме также имеет показательное распределение, при этом с интенсивностью прибор -го узла переходит в режим , а с интенсивностью - в режим . Время пребывания в последнем -м режиме имеет показательное распределение с параметром , после чего прибор переходит в -й режим. Во время переключения прибора с одного режима работы на другой число заявок в узле не меняется.