Открытые сети с многорежимными стратегиями обслуживания и информационными сигналами (стр. 4 из 7)

для всех иных состояний

выполняется .

Интенсивность выхода получается сложением этих интенсивностей:

Основной результат 4.1 состоит в следующем.

Теорема 1.1. [54, C.92], [55, C.180]Если для всех

выполняются условия (4.1.3) и неравенства (4.1.7), то марковский процесс

эргодичен, а его финальное стационарное распределение имеет форму произведения

где

- стационарное распределение изолированного -го узла в фиктивной окружающей среде, определяемое с помощью соотношений (4.1.6).

Доказательство. Для доказательства того, что

, определенные в (4.1.15), образуют стационарное распределение марковского процесса , достаточно [94,97,103] подобрать функцию

которая удовлетворяла бы соотношениям

и

Если такие

удастся найти (см. [94,97,103]), то окажется, что будут являться инфинитезимальными интенсивностями перехода для обращенной во времени цепи Маркова , а - стационарными вероятностями для и . Положим

для всех остальных состояний

положим . Для функции соотношение (4.1.16) действительно выполняется, что легко проверяется подстановкой в него равенств (4.1.8)-(4.1.13), (4.1.18)-(4.1.23) и использования (4.1.4),(4.1.5). Остается доказать (4.1.17). Складывая (4.1.18)-(4.1.23), получим, что

Используя (4.1.1)-(4.1.2), имеем

Применяя снова (4.1.1)-(4.1.2), а также свойства индикаторов, получим

Сравнивая полученный результат с (4.1.14), делаем вывод, что

для любого состояния . Докажем, что при выполнении условий (4.1.7) марковский процесс эргодичен. Согласно эргодической теореме Фостера [82], для этого достаточно доказать, что существует нетривиальное неотрицательное решение уравнений глобального равновесия

такое, что ряд

сходится. Складывая (4.1.16) по всем , убеждаемся, что является решением (4.1.24). Из (4.1.14) следует, что

Поскольку ряд

распадается в произведение

рядов, каждый из которых сходится в силу условия (4.1.7) как сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, то и сам он сходится. В силу (4.1.25) будет сходиться ряд

По эргодической теореме Фостера это означает, что марковский процесс

эргодичен. Таким образом, теорема доказана полностью.

Замечание 4.1. Если условия (4.1.3) и (4.1.7) выполнены во всех узлах, то получается простой алгоритм для нахождения стационарных вероятностей:

1. Проверяется выполнение условий (4.1.3).

2. Решается система нелинейных уравнений (4.1.1)-(4.1.2).

3. Проверяется выполнение (4.1.7).

4. Определяются

с помощью соотношений (4.1.6).

5. Находится стационарное распределение состояний сети

с помощью формулы (4.1.15).

Этот алгоритм может быть дополнен алгоритмом расчета совместного стационарного распределения чисел заявок в узлах и совместного стационарного распределения номеров режимов работы узлов, а также расчета моментов этих распределений. Если

- состояние сети, где , то через обозначим вектор, характеризующий числа положитнльных заявок в узлах, а через - вектор, характеризующий режимы работы в узлах. Стационарные распределения этих двух векторов обозначим соответственно и .

Нетрудно убедиться, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям

, что совместное стационарное распределение чисел положительных заявок в узлах имеет следующую форму: