Открытые сети с многорежимными стратегиями обслуживания и информационными сигналами (стр. 5 из 7)

где каждый множитель имеет геометрическое распределение

Производящая функция стационарного распределения числа заявок в

-м узле имеет вид

а

-й факториальный момент есть

Как и следовало ожидать, в стационарном режиме среднее число положительных заявок и дисперсия числа положительных заявок в каждом узле,

стремятся к нулю, когда загрузка этого узла

Точно так же, складывая (4.1.15) по всем возможным значениям

, определим совместное стационарное распределение режимов в узлах сети:

где

Средний номер режима работы

-го узла в стационарной сети находится как

Анализ характера выходящих потоков из сети провести крайне трудно, так как эти потоки являются сложными благодаря воздействию отрицательных заявок и из-за нелинейности уравнений трафика.

2. ОТКРЫТЫЕ СЕТИ С МНОГОРЕЖИМНЫМИ СТРАТЕГИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫМИ СИГНАЛАМИ ДВУХ ТИПОВ

В 1 исследовалось стационарное распределение марковского процесса, описывающего открытую сеть с многорежимными стратегиями обслуживания и отрицательными заявками. Здесь мы рассмотрим открытую сеть массового обслуживания, в которую наряду с отрицательными заявками, называемыми в дальнейшем отрицательными сигналами, поступает еще один вид информационных сигналов, изменяющих режим функционирования обслуживающих устройств в узлах.

На фазовом пространстве

задан многомерный марковский процесс , где , своими инфинитезимальными интенсивностями перехода: для

для всех других состояний

предполагается, что . Интенсивность выхода получается сложением этих интенсивностей:

Этот процесс описывает сеть, состоящую из

однолинейных узлов, в которую поступают четыре независимых стационарных пуассоновских потока: положительных заявок с параметром , отрицательных сигналов с параметром , сигналов уменьшения режима с параметром , сигналов увеличения режима с параметром . Поступление отрицательного сигнала в узел уменьшает число заявок в нем на единицу, если число заявок в узле больше нуля, и не производит никаких изменений, если в узле нет заявок. Сигнал уменьшения режима при поступлении в -й узел с режимом переводит его в режим работы , не изменяя числа заявок в узле, и не производит никаких изменений, если узел находится в режиме работы 0; сигнал увеличения режима при поступлении в -й узел с режимом переводит его в режим работы , не изменяя числа заявок в узле, и не производит никаких изменений, если узел находится в режиме работы . После этих операций информационные сигналы пропадают, не оказывая более влияния на сеть. Поступающие положительная заявка, отрицательный сигнал, сигнал уменьшения и сигнал увеличения режима направляются в -й узел соответственно с вероятностями . Положительная заявка, обслуженная в -м узле, мгновенно направляется в -й узел, с вероятностью оставаясь положительной, с вероятностью превращаясь в отрицательный сигнал, с вероятностью - в сигнал понижения режима, с вероятностью - в сигнал повышения режима, или с вероятностью покидает сеть . Длительность обслуживания прибором -го узла положительных заявок имеет показательное распределение с параметром . Режимы работы и интенсивности перехода с режима на режим определяются как в предыдущем разделе. Состояние сети в момент времени описывается так же, только теперь - число положительных заявок в -м узле в момент .

Предположим, что все величины

положительны. Пусть - средние интенсивности поступления в -й узел положительных заявок, отрицательных сигналов, сигналов понижения и повышения режимов соответственно, удовлетворяющие системе нелинейных уравнений трафика:

Уравнения (4.2.3) имеют решение. Действительно, первые два уравнения в (4.2.3) совпадают с уравнениями трафика (4.1.1),(1.1.2), которые имеют решение

. Очевидно, по найденным из третьего и четвертого уравнений (4.2.3) однозначно определятся .

Рассмотрим изолированный

-й узел в фиктивной окружающей среде, считая, что в него поступают четыре независимых пуассоновских потока: положительных заявок с параметром , отрицательных сигналов с параметром , сигналов уменьшения режима с параметром и сигналов увеличения режима с параметром . Необходимым и достаточным условием обратимости, а, значит, и квазиобратимости изолированного узла является условие