Отрицания и антитезы в E-структурах (стр. 1 из 3)

Отрицания и антитезы в E-структурах

Когда речь идет о литералах рассуждения, то вопрос об их отрицаниях особых сложностей не вызывает. Если мы говорим «Не A» или «Невозможно A», где A является литералом, то подразумеваем дополнение соответствующего множества A в некотором универсуме. Более сложен ответ на вопрос, что является с точки зрения E‑структур отрицанием данного суждения. И тем более непростой является математическая модель отрицания для рассуждения, содержащего связную совокупность суждений.

Рассмотрим сначала, как решается вопрос с отрицаниями в математической логике. Язык математической логики подчиняется строгим законам синтаксиса. Эти, по правде сказать, не очень простые для изучения законы нам для понимания дальнейшего изложения знать необязательно. Важно то, что весь разнообразный и необозримый набор синтаксически правильных предложений, выраженных на языке математической логики, можно представить как множество формул. Формулы могут быть простыми и сложными, но для каждой формулы существует единственное отрицание, которое выражается с помощью приписывания логической связки «не» перед формулой. Например, если исходная формула у нас обозначена как F, то ее отрицанием является формула, которая обозначается как ØF (или в некоторых источниках как

). Отрицание формулы тоже является формулой, и для этих двух формул должны соблюдаться два закона (соотношения):

1) формула F Ù

— безусловно ложная формула;

2) формула F Ú

— безусловно истинная формула (тавтология или теорема).

Здесь у нас знаками Ù и Ú обозначены соответственно логические связки "И" (конъюнкция) и "ИЛИ" (дизъюнкция). Эти законы имеют в логике соответствующие названия: закон непротиворечия и закон исключенного третьего, и они к тому же однозначно определяют свойства отрицания. Из них, в частности, следует, что для любой формулы может быть только одно отрицание.

С учетом этих законов нетрудно увидеть сходство между отрицаниями в математической логике и дополнениями в алгебре множеств. В алгебре множеств соответствующие законы выражены для произвольного множества S в виде двух соотношений:

S Ç

= Æ и 2) S È = U.

Здесь у нас пустое множество соответствует в логике безусловно ложному утверждению, а в случае, когда соответствующее множество равно универсуму, это означает, что соответствующее логическое выражение безусловно истинно.

Чтобы найти более тесную связь между логикой и алгеброй множеств, рассмотрим понятие «подстановка» в математической логике. Обычно каждая формула содержит определенное число переменных, вместо которых можно подставить какие-то константы (например, переменной может быть "книга в библиотеке", а константой – какая-то конкретная книга). Если в формуле одна или несколько переменных, и все эти переменные заменяются константами, то совокупность этих констант и их соотнесенность с соответствующими переменными называется подстановкой данной формулы. Если данная подстановка характеризуется тем, что формула, в которой все переменные заменены соответствующими константами, является истинной формулой, то такая подстановка называется выполняющей подстановкой данной формулы.

При интерпретации формул математической логики, когда мы рассматриваем каждую логическую формулу как множество выполняющих подстановок, оказывается, что отрицание формулы полностью соответствует дополнению алгебры множеств. Например, логическая формула выражает понятие "множество пар всех целых чисел X и Y, сумма которых равна 100". Тогда при выборе соответствующего универсума, например, "множество всех пар целых чисел", отрицанием этой формулы будет понятие "множество всех таких пар, сумма которых не равна 100". При таких условиях подстановка (это означает, что X = 34, а Y = 66) в нашу формулу будет выполняющей подстановкой, а подстановка - нет. Т.е. для формул с несколькими переменными выполняющие подстановки можно представить как некоторые последовательности (или кортежи) из элементов, а саму формулу – как множество таких кортежей.

Рассмотрим это соответствие более подробно. Представим алгебру множеств, элементами которой являются всевозможные подстановки для заданной в формуле совокупности переменных. Таких подстановок может быть бесконечное число (например, когда областью значений хотя бы одной переменной является бесконечный натуральный ряд чисел), но суть от этого не меняется. Каждую формулу, содержащую заданное множество переменных, можно представить как некоторое множество выполняющих подстановок для этих переменных. Тогда безусловно ложная формула в этом случае означает формулу, для которой выполняющих подстановок не существует (например, формула выражающая понятие "множество всех простых чисел, последней цифрой которых является 6"), а формула, в которой любая подстановка является выполняющей подстановкой, и которая в силу этого свойства является тавтологией или теоремой, соответствует универсуму этой алгебры множеств. Соответственно отрицание заданной формулы означает формулу, в которой выполняющими подстановками являются всевозможные элементы нашего универсума, которые не являются выполняющими подстановками исходной формулы. Так что связь формул математической логики с законами алгебры множеств очевидна: произвольная формула соответствует некоторому подмножеству универсума подстановок, которые для нее являются выполняющими, безусловно ложная формула – пустому множеству выполняющих подстановок, а тавтология или теорема – универсуму.

При переходе к E-структурам возникает проблема соответствующей интерпретации. Если в математической логике отрицание формулы также является формулой, то в E‑структурах формальное отрицание, т.е. присоединение знака отрицания или дополнения к соответствующей E-структуре или к отдельному суждению, не является суждением. Например, формальным отрицанием суждения «Все улитки молчаливы» будет предложение «Неверно, что все улитки молчаливы». Это предложение можно выразить в виде формулы исчисления предикатов, но оно по форме не является суждением E-структуры. На самом деле в этом случае отрицанием будет не одно, а некоторое множество суждений.

В современной логике с некоторых пор стали много внимания уделять "неклассическим" логикам, в которых в той или иной степени не соблюдаются законы классической логики. Среди них весьма распространены логики, у которых для одной формулы допускается не одно, а большее число различных отрицаний. Мотивы такой тенденции вроде бы понятны. Например, суждение "Всем A не присуще B" вроде бы "отрицает" суждение "Всем A присуще B", но в строгом смысле отрицанием не является, так как оно не эквивалентно правильному отрицанию "Неверно, что всем A присуще B". Это отрицание не только включает в себя суждение "Всем A не присуще B", но и такие, как "Некоторым A не присуще B" и "Всем не A присуще B".

Некоторые специалисты по логике (к ним относится и автор данной работы) считают, что использование понятия "отрицание" для обозначения разных сущностей вносит ненужную путаницу в логику. Чтобы избежать этой неоднозначности, будем различать отрицания и антитезы. Смысл отрицания при этом остается прежним, т.е. в полном соответствии с законами классической логики.

Антитезой суждения будем называть такое суждение, которое при соединении с первоначальным суждением вызывает коллизию парадокса.

Например, если у нас исходным суждением является предложение «Все жирафы – хищники», то в этом случае его антитезой является суждение «Все жирафы – не хищники», поскольку (в этом нетрудно убедиться) при совмещении этих двух суждений появляется коллизия парадокса «Все жирафы – не жирафы». Тогда известные в традиционной логике контрарные и контрадикторные суждения (см. разделы 6 и 8) являются антитезами в этом смысле. Но для E‑структур при таком подходе можно сформулировать намного более широкий набор всевозможных антитез.

С точки зрения алгебры множеств антитеза имеет следующие свойства. Пусть F – некоторое логическое выражение (или формула), которое можно рассматривать как множество выполняющих подстановок из универсума U. Обозначим Anti(F) антитезу F. Ее тоже можно интерпретировать как множество выполняющих подстановок в универсуме U. Тогда будут справедливы следующие соотношения:

1) F Ç Anti(F) = Æ; 2) F È Anti(F) ¹ U; 3) Anti(F) Ì

.

Из этих соотношений хорошо видно сходство и отличие антитезы и отрицания (дополнения). Простейшим примером антитезы является отношение "больше" применительно к "меньше". В то же время строгим отрицанием отношения "меньше" является отношение "больше или равно". И хотя отношение "больше" в строгом смысле не является отрицанием "меньше", тем не менее применительно к каким-либо фиксированным объектам оно несовместимо с ним. Многие антонимы в естественном языке, такие как "молодой — старый", "красивый — безобразный", с точки зрения математической логики также не являются отрицаниями друг друга и относятся к классу антитез. Если же речь идет о суждениях, то контрарные и контрадикторные суждения, о которых шла речь в разделах 6 и 8, являются антитезами исходных. В то же время с точки зрения математической логики они не являются их отрицаниями.

Если при формулировке антитез использовать только базовые литералы, то множество всех возможных базовых антитез легко находится с помощью CT-замыкания исходной структуры. Рассмотрим сначала простейший случай, когда E-структура содержит единственное суждение, например, A®B. Тогда для этой структуры можно построить две антитезы: A®

и ®B. Каждое из них при соединении с исходным суждением инициирует коллизию парадокса. Отсюда ясно, что антитезой элементарного суждения является суждение, в котором один из литералов заменен на альтернативный. Нетрудно убедиться, что антитезы к контрапозиции исходного суждения ( ® ) являются контрапозициями ранее построенных антитез.