10 способов решения квадратных уравнений (стр. 3 из 4)
принимает вид:
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда р — четное число.
Пример. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 =7±
Ответ: х1 = 15; х2 = -1.
7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.
Если в уравнении
х2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
х2 = - px - q.
Построим графики зависимости у = х2 и у = - px - q.
График первой зависимости - парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости -
прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:
- прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квад- ратного уравнения;
- прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
- прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Примеры.
1) Решим графически уравнение х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4.
Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую
у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и
N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках
А и В с абсциссами х1 = - 1 и х2 = 4. Ответ: х1 = - 1;
х2 = 4.
2) Решим графически уравнение (рис. 3) х2 - 2х + 1 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 2х - 1.
Построим параболу у = х2и прямую у = 2х - 1.
Прямую у = 2х - 1 построим по двум точкам М (0; - 1)
и N(1/2; 0). Прямая и парабола пересекаются в точке А с
абсциссой х = 1. Ответ: х = 1.
3) Решим графически уравнение х2 - 2х + 5 = 0 (рис. 4).
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 5х - 5. Построим параболу у = х2 и прямую у = 2х - 5. Прямую у = 2х - 5 построим по двум точкам М(0; - 5) и N(2,5; 0). Прямая и парабола не имеют точек пересечения, т.е. данное уравнение корней не имеет.
Ответ. Уравнение х2 - 2х + 5 = 0 корней не имеет.
8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 5).
Допустим, что искомая окружность пересекает ось
абсцисс в точках В(х1; 0 ) и D (х2; 0), где х1 и х2 - корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки
А(0; 1) и С(0; c/a) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, откуда OC = OB • OD/ OA= х1х2/ 1 = c/a.
Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
Итак:
1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);
2) проведем окружность с радиусом SA;
3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис. 6,а) В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 - корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SB, или R = a + c/2a), окружность касается оси Ох (рис. 6,б) в точке В(х1; 0), где х1 - корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис.6,в), в этом случае уравнение не имеет решения.
Пример.
Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).
Ответ:х1 = - 1; х2 = 3.
9. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забыты способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен там определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.11):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение
z2 + pz + q = 0,
причем буква zозначает метку любой точки криволинейной шкалы.
Примеры.
1) Для уравнения z2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни
z1 = 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).
2) Решим с помощью номограммыуравнение
2z2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение
z2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 иz2 = 0,5.
3) Для уравнения
z2 - 25z + 66 = 0
коэффициенты p и qвыходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5t, получим уравнение
t2 - 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откудаz1 = 5t1 = 3,0 иz2 = 5t2 = 22,0.
10. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал - Хорезми.
Примеры.
1) Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.15).
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь Sквадрата ABCDможно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25), т.е. S =х2 + 10х + 25. Заменяя
х2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у2 + 6у - 16 = 0.
Решение представлено на рис. 16, где
у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение. Выражения у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = - 8 (рис.16).
3) Решить геометрически уравнение у2 - 6у - 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
у2 - 6у = 16.