Анализ дифференциальных уравнений (стр. 2 из 2)
Решив это уравнение, найдем функцию z (x), а с ней и решение исходного уравнения y (x) =x z (x).
Пример 1. Найти общее решение уравнения
Решение. Разрешим уравнение относительно производной
и обозначим
. Тогда 
и для функции z (x) получаем уравнение: 
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Выразим в нем производную через дифференциалы и разделим переменные
Теперь проинтегрируем обе части последнего уравнения
Отсюда
Подставив в последнее равенство z=y/x, найдем общее решение исходного уравнения
Пример 2. Решить задачу Коши
Отсюда z= 2arctg (Cx) и, значит, y= 2x× arctg (Cx). Подставив в это
равенство начальные условия x=1 и y = π / 2, получим arctg (C) = π / 4,то есть С=1. Решением задачи Коши является функция y = 2x × arctgx.
Линейные уравнения.
Так называются дифференциальные уравнения вида
y¢p (x) y =q (x).
Решение этого уравнения будем искать в виде произведения двух функций y (x) =u (x) v (x). Тогда y¢=u¢v uv¢ и относительно функций u и v уравнение примет вид
u¢v u (v¢p (x) v) =q (x).
Вместо одной неизвестной функции y (x) мы ввели в рассмотрение две функции u и v, поэтому одной из них мы можем распорядиться по своему усмотрению. Выберем функцию v так, чтобы слагаемое в скобках в левой части последнего уравнения обращалось в ноль. Для этого в качестве v достаточно взять какое-нибудь решение уравнения с разделяющимися переменными
v¢p (x) v =0.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
Таким образом, в качестве v достаточно взять функцию
При этом мы можем считать, что константа, возникающая в результате вычисления интеграла, равна нулю. При таком выборе функции v для функции u получаем уравнение
, или 
Интегрируя последнее уравнение, получим
Когда функции u и v найдены, общее решение линейного уравнения находится без труда y=uv.
Уравнение Бернулли.
Естественным обобщением линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнение Бернулли
y¢p (x) y =q (x) y.
Метод его решения таков же, как и метод решения линейного уравнения.