Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей (стр. 2 из 7)
Аkn= Рk •Сkn , (2)
звідки
Зауважимо, що за означенням покладають 0! = 1. Тому неважко помітити, що С11=1і Сnn = 1.
Приклад. Збори з 30 осіб вибирають трьох делегатів на конференцію. Скількома способами це можна зробити?
Із множини у 30 осіб треба вибрати підмножину з трьох осіб. Цеможна зробити
способами .§ 5. Властивості комбінацій
Числа
і т.д. зручно записати у вигляді такої трикутної таблиці: 
Обчисливши значення кожного символу, дістанемо
Таку таблицю називають трикутником Паскаля. На «бічних сторонах» цього трикутника стоять одиниці, а "всередині", за властивістю 2, кожне число дорівнює сумі двох чисел, що стоять над ним: 2=1+1; 3=1+2; 4=1+3; 6=3+3 і т.д. Ця властивість дає можливість виписувати послідовно рядки трикутника Паскаля, не обчислюючи перед цим значення символів
.§ 6. Біном Ньютона
З алгебри відомо формули скороченого множення:
(a + b)2 =a2 +2ab + b2,
(а + b)3= а3+ 3a2b + 3ab2+ b2.
Коефіцієнти в правих частинах цих формул збігаються відповідно з другим і третім рядками трикутника Паскаля. Чи буде зберігатись ця закономірність для 4-го, 5-го і т.д. степеня суми?
Щоб відповісти на це запитання, розглянемо вираз (1 + х)п , де п -натуральне число. Запишемо цей вираз як добуток співмножників:
Розкривши у правій частині дужки, дістанемо многочлен, який можна розмістити за степенями букви х. До цього многочлена ввійдуть усі степені х з показниками від 0 (вільний член) до п. Щоб записати цей многочлен, треба знайти його коефіцієнти. Нехай ціле число kзадовольняє нерівності 0 < k< n. З'ясуємо, який коефіцієнт має степінь хк. Цей коефіцієнт дорівнює кількості подібних членів виду хk, які дістанемо, розкривши дужки. Щоб дістати хk, беремо в kдужках другий доданок, а в інших п-kдужках перший доданок, і перемножуємо їх. Такий вибір можна здійснити Сkпспособами. Отже, розкривши дужки, матимемо Сkп подібних членів виду хk. Після зведення подібних членів дістанемо відповідний член Сkпxk. Залишається надати kвсіх можливих значень k = 0, 1, 2, ..., п, і члени додати. Таким чином, можна записати:
або, використовуючи символ суми,
Нарешті, розглянемо вираз (а + b)п. Подамо його у вигляді
Якщо позначити
= х, то за формулою (2) дістанемо
або
Формула (3) називається формулою бінома Ньютона.
Розгорнутий вигляд формули (3):
З формули (4) видно, що її коефіцієнти - це рядки трикутника Паскаля.
Поклавши у формулі (4) а = b= 1, дістанемо
Нехай маємо скінченну множину, яка містить п елементів. Тоді кількість підмножин цієї множини дорівнює 2n. Наприклад, для множини {a,b,c} маємо Ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ
§ 1. Про предмет теорії ймовірностей
До цього часу розглядалися задачі, в яких результат дії був однозначно визначеним. Проте в житті, у тому числі й в економічній діяльності, виникає потреба розглядати задачі, в яких результат дії не визначається однозначно. Якщо, наприклад, підкинути один раз кубик, не можна передбачити, як саме він упаде. Проте при багаторазовому підкиданні може встановитися певна закономірність. Те саме стосується і процесу обробки якої-небудь деталі. Розміри різних деталей будуть відхилятися від деякої певної величини. Ці відхилення мають випадковий характер, адже розміри щойно виготовленої деталі не дають змоги точно визначити розміри наступної деталі. Проте якщо розглядати партії з великої кількості деталей, то середнє арифметичне розмірів виготовлених деталей у різних партіях є приблизно однаковим.
Подібного роду закономірності і вивчає теорія ймовірностей.
Принципових змін зазнає і сама постановка задачі. Нас вже цікавить не результат конкретного досліду, а те, що саме дістаємо після багаторазового повторення цього досліду.
Теорія ймовірностей вивчає закономірності масових випадкових подій. Вона є основою для вивчення статистичних даних, своєрідним містком між математичним і статистичним аналізами. Нарешті, теорія ймовірностей знаходить широке застосування у задачах економічного характеру. Наведемо приклади.
1. Скільки треба прокласти телефонних ліній до обласного (районного) центру при організації телефонного зв'язку в області (районі)?
Це чисто імовірнісна задача. Адже завчасно не можна передбачити, скільки викликів і в який проміжок часу надійде до центру. Якщо телефонних ліній прокласти замало, то до центру дуже важко буде зателефонувати. Якщо ж їх прокласти забагато, то витрати на організацію телефонного зв'язку будуть надмірними, що є економічно невигідним.
2. Фірма виготовляє телевізори на трьох заводах А, В, С. їй відомо, який процент продукції на кожному заводі становить брак. Фірма хоче визначити ймовірність того, що бракований телевізор виготовлено, скажімо, на заводі Л.
3. Підприємство, яке виробляє продукти споживання, знає, який процент мешканців міста складають жінки і який - мешканці, чий річний заробіток перевищує 6 тис. грн. Підприємство на розвиток своєї ринкової стратегії хоче знати, який процент мешканців міста складають жінки. чий річний заробіток перевищує 6 тис. грн.
§ 2. Основні поняття теорії ймовірностей
Випробуванням (або дослідом) називається експеримент, який можна проводити в однакових умовах будь-яку кількість разів. Результат випробування називається подією або наслідком.
Наприклад, підкидання монети - випробування, поява на ній "герба" -подія. Виготовлення деталей - випробування, поява бракованої деталі -подія.
Події позначають великими буквами латинського алфавіту А, В, С, ....
Означення 1. Випадковою подією називається подія, яка може відбутися або не відбутися під час здійснення певного випробування.
Наприклад, виграш у суперника при грі у шахи, поява бракованого виробу при серійному їх випуску - випадкові події.
Означення 2. Масовими називаються однорідні події, що спостерігаються за певних умов і можуть бути відтворені необмежену кількість разів.
Масовими вважають і ті події, для яких відповідні випробування не можна відтворити, але є можливість спостерігати аналогічні випробування у великій кількості. Наприклад, виклик телефонної станції, прихід суден далекого плавання в порт призначення.
Подія, яка при кожному випробуванні обов'язково відбувається, називається вірогідною. Наприклад, якщо в урні лише білі кулі, то при кожному випробуванні обов'язково вийматиметься тільки біла куля.
Подія, що не може відбутися при жодному випробуванні, називається неможливою. Наприклад, поява чорної кулі, якщо в урні лише білі, є неможливою подією.
Означення 3. Сукупність подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоч одна з цих подій напевно відбудеться (наприклад, поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час кидання грального кубика).
Якщо повна група складається з двох подій, то такі події називаються протилежними і позначаються А і Ặ.
Означення 4. Події А1 , А2 , ... , Ап називаються попарно несумісними у даному випробуванні, якщо ніякі дві з них не можуть відбутися разом.
Поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час одного кидання грального кубика - приклад множини з шести несумісних подій.
Події А1, А2, ... , Ап можуть бути рівноможливими. Під рівноможливими розуміють такі події, кожна з яких не має ніяких переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.
Найважливішим поняттям теорії ймовірностей як галузі математики є поняття ймовірності випадкової події.
Ймовірність - числова характеристика появи випадкової події за певної умови, яка може бути відтворена необмежену кількість разів. Розглянемо поняття ймовірності грунтовніше.
§ 3. Класична ймовірність
Нехай маємо 100 деталей, з яких 97 стандартних і 3 браковані. Дослід полягає в тому, що навмання беруть одну деталь. Не можна наперед сказати, якою буде взята деталь - стандартною чи бракованою. Оскільки ми можемо вибирати лише одну яку-небудь деталь, то поява стандартної чи бракованої деталі - випадкові події, які утворюють повну групу з 100 несумісних і рівноможливих подій. З цих 100 випробувань появі стандартної деталі сприяють 97 наслідків, а появі бракованої- 3 наслідки. Нехай А -подія, яка полягає у виборі стандартної деталі, а В - бракованої. Тоді числа 97/100 і 3/100 характеризують можливість здійснення відповідно події А чи В. Ці числа називають ймовірностями подій А і В і позначають