Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей (стр. 3 из 7)
Означення. Ймовірністю випадкової події називають відношення кількості наслідків випробувань, які сприяють появі цієї події, до загальної кількості всіх рівноможливих несумісних наслідків, які утворюють повну групу подій.
Позначають
(1)де п - загальна кількість всіх рівноможливих результатів експерименту;
т - кількість результатів експерименту, сприятливих для події А.
Розглянуте означення ймовірності називають класичним. Із класичного означення ймовірності випливають такі властивості:
1. Ймовірність кожної події А є невід'ємним числом, що не перевищує одиниці. Справді, число т випробувань, сприятливих для події А, справджує нерівності 0 < т < п , звідки
тобто 
2. Ймовірність неможливої події Vдорівнює нулю: P(V) = 0 . Дійсно,
за формулою (1)
Приклад 1. У коробці міститься шість однакових занумерованих куль. Довільно по одній виймають усі кулі. Знайти ймовірність того, що номери вийнятих куль зростатимуть.
Позначимо через А подію, ймовірність якої треба знайти. Наслідками випробувань є перестановки з шести елементів. Отже, число всіх можливих випадків п = Р6 =6! = 720. Для події А сприятливим є лише один наслідок випробування, тобто т = 1. Тому
Приклад 2. Набираючи номер телефону, абонент забув останні три цифри і, пам'ятаючи що всі вони різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрано потрібний номер телефону.
Нехай А - подія, ймовірність якої треба знайти. У цьому випадку п = А310, т = 1. Тоді
Приклад 3. Партія з 10 деталей має 7 стандартних. Знайти ймовірність того, що серед вибраних навмання шести деталей чотири стандартні.
Нехай А - подія, ймовірність якої треби знайти. У цьому випадку п = C610. Щоб знайти число наслідків випробувань, в яких чотири стандартні деталі, діємо так: вибираємо ці 4 деталі із загальної їх кількості. Це можна зробити С74 способами. Решту 6-4 = 2 нестандартних деталей можна вибрати С32 способами. За правилом добутку число наслідків випробувань, що сприяють появі події А, буде т = С74 · С32 . Шукана ймовірність дорівнює
§ 4. Статистична ймовірність
Нехай виконуються випробування, які можна повторити будь-яку кількість разів, і нехай при багаторазовому повторенні випробування події, які відбулися в попередніх випробуваннях, ніяк не впливають на події, що відбудуться у даному випробуванні.
Якщо проведено п однакових випробувань і · т - число випробувань, в яких відбулася подія А, то відношення
називають відносною частотою події А у проведеній серії випробувань. Таким чином, відносна частота події А визначається формулою 
Теорія ймовірностей розглядає лише такі події, для яких характерна властивість стійкості відносних частот. Ця властивість полягає в тому, що відносна частота події А при великій кількості випробувань мало відрізняється від деякого числа.
Нехай маємо таблицю, де наведено результати дослідів, пов'язаних із підкиданням симетричної монети:
Число підкидань 4040 2048 0,5069
Число появ "герба" 12000 6019 0,5016
Відносна частота 24000 12012 0,5005
Тут відносні частоти відхиляються від числа 0,5 тим менше, чим більша кількість випробувань. Проте число 0,5 є класичною ймовірністю випадання "герба" при одному підкиданні симетричної монети.
Як бачимо, означення класичної ймовірності не вимагає, щоб випробування насправді виконувались: означення відносної частоти вимагає, щоб випробування були фактично виконані. Іншими словами, класичну ймовірність обчислюють до досліду, а відносну частоту - після досліду.
Проте класична ймовірність має обмежене застосування, оскільки далеко не завжди в реальних умовах можна виділити рівноможливі випадки у скінченній кількості.
Якщо підкидати несиметричну монету (із зміщенням від геометричного центра ваги), то відносні частоти появи "герба" так само мають властивість групуватися навколо певного числа р при збільшенні кількості випробувань. Проте число р нам невідоме, бо монета не є симетричною і для кожної монети воно буде своїм.
Прийнято вважати це невідоме число р статистичною ймовірністю появи "герба" при підкиданні несиметричної монети.
Означення. Ймовірністю події А називається невідоме число р, навколо якого зосереджується значення відносної частоти події А при зростанні числа випробувань.
Щойно наведене означення ймовірності називають статистичним. Отже,
Рп(А)≈Р(А) = р,(2)
де Р(А) - ймовірність події А; Рп(А) - відносна частота; п -кількість випробувань.
Наближена рівність (2), яка виражає властивість стійкості відносних частот, є однією з найважливіших закономірностей масових випадкових подій.
Приклад. Із 1000 довільно вибраних деталей приблизно 3 браковані. Скільки бракованих деталей приблизно буде серед 2100 деталей?
Позначимо через А подію, коли навмання взята деталь бракована. Тоді відносна частота
Якщо серед 2100 деталей виявиться х бракованих, то ймовірність події А
Оскільки Рп (А) ≈ Р(А), то
, звідки х = 6.§ 5. Зв'язок теорії ймовірностей з теорією множин
Множину всіх можливих наслідків випробування називають основним простором або простором елементарних подій (наслідків) і позначають Q. Наслідок позначають со.
Випадковою подією (наслідком) називається будь-яка підмножинаЛ простору Q, тобто будь-яка множина наслідків. Наслідки, які утворюють подію А, називають сприятливими для А (соє А). Подія А настає тоді і тільки тоді, коли настає елементарна подія (наслідок), сприятлива для А.
Тому теорія ймовірностей і теорія множин мають багато спільного. Втім, в них йдеться про одне й те саме різними словами, що видно з такої таблиці:
Приклад. Підкидають два гральних кубики. Подія А - сума очок, які з'явились, дорівнює 10; подія В - принаймні один раз з'явиться шістка. Опишіть простір елементарних подій та події AUВ і А ∩ В.
Простір елементарних подій, або множину можливих наслідків випробування, можна записати як набір усіх можливих впорядкованих пар чисел від 1 до 6 (кожну із шести граней першого кубика можна розглядати у парі з будь-якою гранню другого кубика). Отже,
Ω = {(1; 1), (1; 2),...(1; 6), (2; 1), ..., (6; 5), (6; 6)}.
Всього за правилом добутку маємо 6 • 6 = 36 елементів.
Подію А задаємо переліком елементів, які її складають:
А = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)}.
Аналогічно
В={(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6), (1; 6), (2; 6), (3; 6), (4; 6), (5; 6)}.
Об'єднання AUВ - подія, яка полягає в тому, що відбудеться хоча б одна з подій А або В. Тому AUВ означає, що або сума очок на гранях, які випали, дорівнює 10, або принаймні один раз з'явиться шістка.
Оскільки елементи (4; 6) і (6; 4) входять одночасно ідо А, ідо В, то
AUB = ((5; 5)}UB.
Подія А ∩ В складається з двох елементів, які входять і до А, і до В:
A∩B= {(4; 6), (6; 4)}.
§ 6. Геометричні ймовірності
Класичне означення ймовірності ґрунтується на тому, що випробування має скінченну кількість наслідків. Проте є досліди, які мають нескінченну кількість наслідків.
Наприклад, нехай на площині міститься область Ω. і в ній міститься інша область А (рис. 300).
Припустимо, що в область Ωнавмання кидають точку. Як визначити ймовірність того, що кинута точка потрапить до області А?Природно вважати, що ймовірність попадання точки до області А пропорційна площі цієї області і не залежить від розміщення та форми цієї області.
Підмножини області Ω, які мають площу, називатимемо в такому разі випадковими подіями. Якщо А - випадкова подія, то вважатимемо, що
(1)де S(A) – площаA, S(Ω.) -площа Ω.
Ймовірності, що подаються як відношення площ областей (довжин відрізків, об'ємів тіл), називають щегеометричними ймовірностями.
Приклад 1. Знайти ймовірність того, що навмання взята точка з круга радіуса Rналежатиме квадрату, вписаному в коло, яке обмежує круг (рис. 301).
За означенням геометричної ймовірності маємо
де S1 - площа квадрата AВCD; S- площа круга радіуса R.