Елементи комбінаторики. Початки теорії ймовірностей (стр. 6 из 7)
Повернемося до загального випадку. Кількість усіх можливих сприятливих комбінацій N = Ckn . Підставивши це у формулу (2), матимемо
Формулу (3) називають ще формулою Бернуллі.
Приклад 1. Імовірність виготовлення стандартної деталі дорівнює 0.95. Яка ймовірність того, що серед десяти деталей: а) лише одна нестандартна; б) не більше однієї нестандартної?
а) Нехай подія А полягає в тому, що серед десяти деталей лише одна нестандартна. Тоді маємо п = 10, k= 1, р = 0,05 . За формулою (3)
б) Нехай подія В полягає в тому, що серед десяти деталей не більше однієї нестандартної. Тоді
За умовою шукана ймовірність Р = Р(А UВ). Події А і В несумісні, тому Р = Р(А) + Р(В). Отже,
Приклад 2. Що більш імовірно: виграти у рівного собі гравця в шахи 4 партії з 8 чи 3 партії з 5? Нічиї виключаються. Позначимо першу подію А, другу - В. Тоді маємо
Отже, Р(В)>Р(А).
Набір чисел Рп(k), де k = 1, 2, ..., п, називається біноміальним розподілом. Він залежить від двох параметрів: п, р.
Властивості:
2) Рn (k) спочатку зростають до якогось найбільшого значення, а спадають:
Найімовірніше число успіхів λв схемі Бернуллі задовольняє нерівності
Приклад 3. Гральний кубик підкидають 35 разів. Яке найімовірніше число появи грані з одним очком?
Отже, дістали два значення: λ= 5 , λ= 6.
§ 14. Граничні теореми Бернуллі
При досить великій кількості випробуваньnбезпосереднє обчислення ймовірності Рп (k) за формулою Бернуллі ускладнюється. Для спрощення обчислень Рп(k) запропоновано ряд наближених формул.
Теореми, в яких наводяться такі формули, називаються граничними теоремами схеми Бернуллі.
Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А у кожному випробуванні стала (0<р<1), то ймовірність Рп(k) того, що подія А з'явиться kразів у п незалежних випробуваннях, наближено дорівнює (тим точніше, чим більше п)
Значення функції φ(x) знаходять за таблицями (див. додатки, табл. 4).
Деякі властивості функції φ (x):
1) визначена на всій числовій осі;
2) парна, тобто φ (-x) =φ (x)
Графік функції Гаусса наведено на рис. 308.
Приклад 1. Знайти ймовірність того, що з 500 висіяних насінин не зійде 130, якщо схожість насіння оцінюється ймовірністю 0,75.
Графік функції Лапласа наведено на рис. 309.
Приклад 2. Ймовірність появи події в кожному зі 100 незалежних випробувань дорівнює р = 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться не менш як 70 разів.
Вимога, щоб подія з'явилася не менше, ніж 70 разів, означає, що подія може з'явитися або 70 разів, або 71 раз, ... , або 100 разів. Отже, в даному випадку покладемо k1, =70, k2=100 і скористаємося інтегральною теоремою Лапласа. Тоді
За таблицею значень Ф(х) знаходимо Ф(-2,5) = -Ф(2,5) = -0,4938; Ф(5) = 0,5 . За формулою (2) дістанемо
Теорема Пуассона. Якщо в схемі Бернуллі пр = λ- стала, то
Застосовується теорема при пр < 10 у вигляді наближеної формули для великих значень п (не менше кількох десятків) та малих р ( р < 0,1):
Пуассона.
Приклад 3. Молокозавод відправив у магазин 500 пакетів молока. Ймовірність пошкодження пакета при транспортуванні дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що при транспортуванні буде пошкоджено пакетів: 1) три; 2) менше трьох; 3) більше трьох; 4) хоча б один.
Число п= 500 велике, ймовірність р = 0,002<0,1, події (пошкодження пакетів) незалежні; тому можна скористатися формулою Пуассона (3).
1) λ= пр = 500 · 0.002 = 1. Ймовірність того, що буде пошкоджено,
2) ймовірність того, що буде пошкоджено менше трьох пакетів,
3) події "пошкоджено більше трьох пакетів" та "пошкоджено не більше " є протилежними, тому
4) подія "пошкоджено хоча б один пакет " є протилежною до події "жоден пакет не пошкоджено." Тому шукана ймовірність того, що буде пошкоджено хоча б один пакет, дорівнює
§ 15. Випадкові величини
Одним із основних понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини, з яким пов'язане уявлення про результати деякого випробування, що полягає у вимірюванні певної числової величини. Величина, яка цікавить дослідника, може набувати різних значень залежно від випадкових обставин. Прикладами випадкових величин можуть бути кількість очок, що випадають на грані гральної кості, кількість викликів, що надходять протягом певного протяжку часу, кількість новонароджених за добу в деякій місцевості, час безвідмовної роботи приладу, дальність польоту ракети тощо. Якщо в результаті експерименту величина набуває лише одного можливого числового значення, заздалегідь невідомого і обумовленого випадковими причинами, то її називають випадковою. Отже, випадкова величина є числом, яке ставиться у відповідність кожному можливому наслідку експерименту.
Означення 1. Випадковою величиною називається числова функція, визначена в просторі елементарних подій.
Означення 2. Випадкова величина називається дискретною, якщо її значення можна записати у вигляді послідовності (скінченної або нескінченної).
Випадкові величини позначаються великими латинськими літерами X, Y, Z, а їх значення відповідними малими літерами.
Якщо випадкова величинаXнабуває значеньх1,х2, ... , хп з відповідними ймовірностямир1,р2, … , рn, то говорять, що задано закон розподілу ймовірностей випадкової величини. Закон розподілу дискретної випадкової величини зручно записувати у вигляді таблиці:
| X | х1 | Х2 | … | Хn |
| P | р1 | р2 | … | рn |
де рк = P(x = xk)>0, k = 1,...,n .
Враховуючи, що в одному випробуванні випадкова величина набуває лише одного можливого значення, зробимо висновок, що події X=х1, X=х2, ... , X= хпутворюють повну групу, а тому
Означення 3. Дві випадкової величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набуває інша випадкова величина. У противному разі випадкові величини залежні.
Наведемо деякі приклади дискретних випадкових величин та їх розподілів.
1. Рівномірний дискретний розподіл: випадкова величина набуває прізних значень з імовірністю 1/n кожне.
2. Біноміальний розподіл.
3. Розподіл Пуассона.
4. Геометричний розподіл: проводяться незалежні випробування з імовірністю успіху р.
X- кількість спроб до першої появи події A, тобто до успіху; q = 1- р. Закон розподілу подається таблицею:
| X | 0 | 1 | 2 | … | n | … |
| pi | p | qp | q2p | … | qnp | … |
5. Гіпергеометричний розподіл. Нехай в партії N виробів, із них п -бракованих. N -п - якісних. Навмання вибирають kвиробів. Знайти закон розподілу величини X- кількість бракованих виробів серед k.
Приклад 1. Вибираємо навмання одне з натуральних чисел від 1 до 10 і підраховуємо кількість його натуральних дільників X. Знайти закон розподілу випадкової величини X.
Складемо спочатку таблицю кількості дільників натуральних чисел:
| Ω | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| X | 1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 |
Вибір будь-якого числа від 1 до 10 є рівноможливим, тому ймовірність його вибору дорівнює 0,1. Об'єднавши результати, що відповідають однаковій кількості дільників, і додавши їх імовірність, знайдемо закон розподілу X: